Tellbar, disjunkt lukket overdekning av R

[Karl_Erik]

Finnes det en tellbar mengde disjunkte lukkede intervaller [tex]I_1, I_2, \ldots[/tex] slik at [tex]\bigcup_{i \in \mathbb{N}} I_i =\mathbb{R}[/tex]?

EDIT: Et intervall betyr her kun begrensede intervaller - R selv regnes ikke som et lukket intervall.

[TrulsBR]

Med mindre jeg misforstår spørsmålet:
Se på "Formal definition 2" på følgende Wikipedia-side.
http://en.wikipedia.org/wiki/Connected_space

[Karl_Erik]

Det viser at en sammenkoplet mengde ikke kan partisjoneres i to lukkede disjunkte mengder, men ikke at den ikke kan partisjoneres i tellbart mange lukkede intervaller. Det er mulig det første impliserer det andre, men du må kanskje jobbe litt for å bevise det.

[Charlatan]

Jeg bruker et par teoremer i boken "Topology" av Munkres, så jeg legger til referanser der det passer seg.

Anta at en slik dekning eksisterer. La [tex]L = \{ I_n | n \in \mathbb{N} \}[/tex]. En definisjon: [tex][a,b] < [c,d] \Leftrightarrow b<c[/tex]. Gi L ordningstopologien generert av denne ordningen. Dersom [tex]I,J \in L[/tex] og [a,b]=I<J=[c,d], finnes det en [tex]x \in \mathbb{R}[/tex] slik at b<x<c. x ligger i et intervall K i L, så I<K<J. Velg et intervall [tex]I^{\prime}<I[/tex], og et intervall [tex]J^{\prime}>J[/tex]. Da er [tex]I \in (I^{\prime},K), J \in (K,J^{\prime})[/tex], og [tex](I^{\prime},K) \cap (K,J^{\prime}) = \emptyset[/tex], så L er hausdorff.

La [tex](I_i)_{i \in R}[/tex] være en mengde intervaller i L begrenset oppad av I. La [tex]x = \sup_i \sup I_i[/tex]. Nå er [tex]x \in J[/tex] for et unikt intervall J. Hvis [tex]J < I_i[/tex] for en i, så er [tex]x < \sup I_i[/tex] som er umulig, så J er en øvre grense. Hvis K<J er en øvre grense, er [tex]x>\sup K > \sup I_i[/tex] for alle i som er umulig. Dermed er J en minste øvre grense for mengden. Altså har L minste øvre grense-egenskapen. Det betyr at ethvert intervall [I,J] er kompakt (ref. Teorem 27.1).

Velg I<J. [I,J] er kompakt og hausdorff som underrom av L. La [tex]K \in [I,J][/tex]. Hvis et basiselement [tex](I^{\prime},J^{\prime}) \subseteq \{K\} [/tex], kan vi finne [tex]K^{\prime}[/tex] i intervallet slik at [tex]I^{\prime} < K^{\prime}<K[/tex], som er umulig. Altså er ettpunktsmengder aldri åpne i [I,J]. Det følger at [I,J] er utellbart, som medfører at L også er det (ref. Teorem 27.7). Dette er en motsigelse ettersom dekningen er tellbar.

[Charlatan]

Oppfølger (enklere): Finnes det en disjunkt tellbar dekning av [tex]\mathbb{R}[/tex] av åpne begrensede intervaller?

[Karl_Erik]

Veldig fin og kreativ løsning. Svaret på oppfølgeren er nei: Anta det motsatte og la [tex](a,b)[/tex] være et intervall i overdekningen. Da er [tex]b[/tex] inneholdt i et annet intervall i overdekningen. Siden dette er åpent finnes en positiv epsilon slik at $(b-\epsilon, b+\epsilon)$ er inneholdt i mengden. Men samme hvor liten epsilon er skjærer denne (a,b), så intervallene er ikke disjunkte og en motsigelse.

[Charlatan]

Stemmer det. Vil forresten gjerne se en alternativ løsning på din oppgave, vil du legge din ut? På den sistnevnte kan man alternativt (ved å utnytte noe mer topologisk maskineri enn nødvendig) merke seg at en slik dekning er en separasjon av [tex]\mathbb{R}[/tex] ved å betrakte et åpent intervall i dekningen og unionen av resten, men det er jo umulig.

[Charlatan]

Det er forøvrig en fin oppfølger her allerede: Kan et sammenkoblet rom ha en tellbar disjunkt overdekning av lukkede mengder?

EDIT: Dekningen må være av minst 2 elementer.

[Karl_Erik]

Anta det motsatte, og la [tex]\{I_i=[a_i, b_i]\}[/tex] være mengden intervaller. Lar vi [tex]E=\{a_i, b_i \}[/tex] være mengden endepunkter er komplementet i R en union av åpne intervaller, så E er lukket. Dessuten er ethvert punkt i E et grensepunkt, da vi for [tex]a_i \in E[/tex] enten har at det finnes [tex]b_k \in E[/tex] vilkårlig nær [tex]a_i[/tex], eller så finnes en [tex]\epsilon[/tex] slik at [tex](a_i - \epsilon, a_i)[/tex]ikke inneholder noe element av E, og en motsigelse.

Siden E er tellbar kan vi ordne elementene dens som en følge [tex]\{c_1, c_2, \ldots \}[/tex]. Velg et lukket intervall [tex]J_1=[x_1-\epsilon, x_2+ \epsilon][/tex] der [tex]x_1 \in E[/tex], og slik at [tex]J_1[/tex] ikke inneholder [tex]c_2[/tex]. Siden ethvert punkt i [tex]E[/tex] er et grensepunkt inneholder [tex]J_1[/tex] uendelig mange elementer fra [tex]E[/tex], så velg et nytt intervall [tex]J_2=[x_2-\epsilon, x_2+\epsilon][/tex] som ikke inneholder [tex]c_2[/tex].

Fortsetter vi slik genererer vi en uendelig følge intervaller [tex]J_1 \supset J_2 \supset \ldots[/tex] slik at [tex]J_i[/tex] ikke inneholder [tex]c_1, \ldots, c_i[/tex]. Ser vi på \midtpunktene deres [tex]x_i[/tex] danner dette opplagt en konvergent følge, som konvergerer til et punkt [tex]x[/tex] som ligger i snittet av alle [tex]J_i[/tex]. Siden E er lukket må [tex]x \in E[/tex], men snittet av [tex]J_i[/tex] er per konstruksjon forskjellig fra ethvert element i E, så [tex]x \notin E[/tex], og vi har en motsigelse.

Det ble litt mer omstendelig enn jeg hadde trodd - i hodet mitt hadde jeg et mye kortere bevis for at en lukket undermengde av R der ethvert element var et grensepunkt var utellbar, men det viste seg å være delvis feil, så det gikk litt fort og gæli men ble forhåpentligvis riktig nå.

[Gustav]

Mulig jeg overser noe eller at dette er flisespikkeri, men er det så opplagt at følgen konvergerer?

Forslag til argument:

Konstruer en Cauchyfølge [tex]x_i [/tex]. Siden E er et lukket underrom av et komplett rom, så er E komplett, og da vil alle Cauchy-følger konvergere mot et element i E.

Så hvis man definerer følgen [tex](x_i)[/tex] som sentrene i intervaller [tex]J_i=[x_i-e_i,x_i+e_i][/tex] slik at [tex]J_1[/tex] ikke inneholder [tex] c_1[/tex], [tex]x_2[/tex] er i [tex]J_1[/tex], og [tex]J_2[/tex] hverken inneholder [tex]c_2[/tex] eller [tex]x_1[/tex] etc. Da vil radien [tex]e_2[/tex] være mindre enn [tex]\frac{e_1}{2}[/tex], [tex]e_3[/tex] mindre enn [tex]\frac{e_2}{2}[/tex] osv. slik at radiene går mot 0. Da vil følgen opplagt være Cauchy og dermed konvergere mot et element x i E som ligger i snittet [tex]\cap_i J_i[/tex].

[Charlatan]

Ja, det ser riktig ut det plutarco; å tvinge radien til intervallene å konvergere mot 0 medfører at følgen din konvergerer. Jeg kan tenke meg at dersom følgen Karl Erik har dannet ikke konvergerer så vil man kunne utføre samme argument ved å betrakte en konvergent delfølge av den; i og med at hvis J_n ikke inneholder c_n, så inneholder ikke J_m for m > n c_n heller.


I oppfølgeren må det forresten selvsagt være minst 2 lukkede underrom i dekningen. Hvis ikke kunne man ha brukt at X selv er lukket og dermed en tellbar dekning av seg selv.

[Karl_Erik]

I hodet mitt virket det opplagt at følgen ble Cauchy, men du har selvfølgelig helt rett, det bør jo bevises.

[Charlatan]

Oppdatering: det viser seg å finnes ganske enkle eksempler på både tellbare og utellbare sammenkoblede rom slik at de har en lukket og tellbar overdekning: Z hvor de åpne mengdene er de som har et endelig komplement, og unionen X av et tellbart antall disjunkte åpne intervaller i R slik at de åpne mengdene er unionen av alle intervaller utenom et endelig antall. I førstnevnte tilfelle er ettpunktsmengder lukkede og danner en disjunkt lukket tellbar union av Z, og i sistnevnte er hvert enkelt intervall lukket og danner en tellbar lukket disjunkt union av X.

Men finnes det en tellbar disjunkt overdekning av generelle lukkede mengder i R (i ordningstopologien) av R?