matematikk.net

Vi har en boks som er fylt med vann og måler 1x1x1 meter.

Vi lager et hull på en av sidene som er så lite som mulig.

Hvor høyt opp på boksen må vi lage hullet for at vannstrålen skal nå lengst bort fra boksen, målt horisontalt ?

( Trenger man å vite størrelsen på hullet? Altså her kan dere bare sette noe lite om det er nødvendig ^^ )

Det går an å vise at hastigheten på vannstrålen er proporsjonal med sqrt(h) hvor h er høyden fra vannoverflaten til hullet (http://en.wikipedia.org/wiki/Torricelli's_law).

Gitt dette, så kan du finne en funksjon for hvor langt vannstrålen når bort for en gitt høyde. Finn så maksimalverdien til denne.

Okai, ser dette greit ut ? Virker litt ulogisk, trodde punktet skulle være lengre nede...

Farten helt i begynnelsen er gitt ved [tex]v = \sqrt {2gh} [/tex]
Vi kan dele opp bevegelsen til vannet til to vektorer, en i [tex]x[/tex] retningen og en i [tex]y[/tex] retningen.

Siden vannet ikke har noe fart i oppover i [tex]y[/tex]-retningen kan vi skrive vektoren slik

[tex]y = - \frac{1}{2}g{t^2} + \left( {b - h} \right)[/tex]

Der [tex]b - h[/tex] er høyden fra bakken og opp til punktet. [tex]b[/tex] er høyden til boksen.

Ved å sette [tex]y[/tex] lik null og løser for [tex]t[/tex], finner vi ut hvor lang tid det tar før første dråpen treffer bakken.

[tex]t = \frac{{\sqrt {2g\left( {b - h} \right)} }}{g}[/tex]

Avstanden vannet renner i x retningen kan vi skrive slik.

[tex]x = v \, \cdot \, t [/tex]

[tex]x = \sqrt {2gh} \, \cdot \, \frac{{\sqrt {2g\left( {b - h} \right)} }}{g}[/tex]

Denne kan vi forenkle en del, og står igjen med

[tex]x = 2\sqrt {h\left( {b - h} \right)} [/tex]

For å finne maks verdien til [tex]x[/tex] deriverer med tanke på [tex]h[/tex] og setter lik [tex]0 [/tex]

[tex]0 = \frac{{b - 2h}}{{\sqrt {h\left( {b - h} \right)} }}[/tex]

[tex]\frac{1}{2}b = h[/tex]

Altså går vannstrålen lengst når hullet er plassert midt på boksen.

Stemmer dette?