Kjegleformet hatt

[sEirik]

Hei, og takk for sist!

Jeg har funnet meg en nøtt å knekke, og den er vanskeligere enn den ser ut til.

Hvis man skal lage en kjegleformet hatt av papp, så lager man den i én del, man former den som en sirkelsektor og skjøter den sammen i siden.
Men hva hvis man vil at hatten skal peke litt bakover, slik at den er lenger på fremsiden enn på baksiden? Og skjøten skal være på baksiden?

Den får altså form slik som øverste del av kjeglesnitt-tegningen her:


Formen vil fortsatte likne på en sirkelsektor, men i midten vil den ha større "radius" enn i ytterkantene, fordi hatten skal være lenger foran enn bak. Men kurven vil ikke være en sirkelsektor. Så utfordringen er; hva slags kurve er det man vil ende opp med i formen?

[Janhaa]

Hei Eirik,

tipper parabel eller hyperbel...

[Charlatan]

Hei, ganske interessant oppgave egentlig, og det var tilfeldigvis nylig et samtaleemne. Jeg tror vi kom fram til at det måtte danne en ellipseform på arket etter det var brettet ut, men får prøve å regne litt på det.

[sEirik]

Er kanskje ikke helt tilfeldig, for jeg har spurt noen andre som jeg kjenner også.

Husk på spesialtilfellet der hatten faktisk er like lang fremme som bak, a = b. Altså at hatten peker rett opp, og kjeglesnittet blir en sirkel.
Da er buen et sirkelsegment.
Altså må buen i det generelle tilfellet (der hatten er lenger foran enn bak) også kunne tilsvare et sirkelsegment i spesialtilfellet. Det kan en ellipse, men dette utelukker vel parabler og hyperbler.

Jeg holder en knapp på ellipse. Men hvilken ellipse blir det i så fall?
Den er i hvert fall definert ved at man kjenner tre punkter den skjærer gjennom (fremsiden og baksiden(e) av hatten) og kurven skal være vinkelrett med sidene på figuren. Er ikke det nok informasjon til å konstruere en ellipse? Hvordan blir det i så fall?

[Charlatan]

Har ingen løsning foreløpig, men har kommet fram til noe.

En generell kjegle er [tex]Az^2=x^2+y^2[/tex], og uten tap av generalitet lar vi planet være [tex]ax+z+d=0[/tex].

Lengden fra (x,y,z) til (0,0,0) er [tex]\sqrt{x^2+y^2+z^2}=\sqrt{A+1}|z|[/tex]. Lar vi lengden være 1, er [tex]z= (1+A)^{-\frac12}[/tex]. På kjeglen er da [tex]\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{\frac{A}{1+A}}[/tex]. Det betyr at omkretsen langs sirkelen som dannes mellom skjæringen av planet [tex]z= (1+A)^{-\frac12}[/tex] er [tex]2 \pi \sqrt{\frac{A}{1+A}}[/tex].

Avbildningen, dvs utbrettingen som er sirkelsektoren, av kjeglen til planet vil da ha vinkelen [tex]2 \pi \sqrt{\frac{A}{1+A}}[/tex].

Vi må altså skalere vinkelen et punkt (x,y,z) lager i xy-planet med [tex]\sqrt{\frac{A}{1+A}}[/tex] når vi skal avbilde den på sirkelsektoren i planet.

Vinkelen går altså fra [tex]\arctan(\frac{y}{x})[/tex] til [tex]\sqrt{\frac{A}{1+A}}\arctan(\frac{y}{x})[/tex].

Vi kan definere avbildningen T fra kjeglen til sirkelsektoren ved [tex]T(x,y,z)=(r\cos\theta,r\sin\theta)[/tex]. For å vise at det er en ellipse må vi vise at det finnes a, b slik at [tex]a^2r^2\cos^2\theta +b^2r^2\sin^2\theta=1[/tex], eller [tex]\frac{(A+1)(ax+d)^2}{\tan^2\theta+1}(a^2+b^2\tan^2\theta)=1[/tex] der [tex]\theta = {\frac{A}{1+A}}\arctan(\frac{y}{x})[/tex] (y kan uttrykkes ved x).

Det virker lite sannsynlig ved første øyekast, men kan jeg kan godt ha gjort en feil. mtp at [tex]y^2 = A(ax+d)^2-x^2[/tex] virker det som det er en ikke-triviell figur det er snakk om.

Det tilsvarer å projisere ellipsen som er på kjeglen ned på xy-planet, deretter utvide ved faktoren [tex]\sqrt{\frac{A+1}{A}}[/tex] (som beholder figurtypen), og deretter forminske vinkelen med faktoren [tex]\sqrt{\frac{A}{1+A}}[/tex] (som ikke jeg kan se nødvendigvis beholder figurtypen utenom en sirkel).

[sEirik]

Nei vent... hvis du tegner ned figuren på et ark så ser du fort at kurven må ha et vendepunkt også. Så det er ikke bare en seksjon av en ellipse.

[Charlatan]

Jeg tror følgende formel skal beskrive (en seksjon av) figuren som dannes ved skjæringen av planet og kjeglen beskrevet ovenfor.

[tex]T(x)=(\sqrt{A+1}|ax+d|\cos(\sqrt{\frac{A}{1+A}}\arctan(\frac{\sqrt{A(ax+d)^2-x^2}}{x})),\sqrt{A+1}|ax+d|\sin(\sqrt{\frac{A}{1+A}}\arctan(\frac{\sqrt{A(ax+d)^2-x^2}}{x})))[/tex]

Hadde vært interessant å se hvordan denne ser ut. Har ikke verktøyet for hånd for å lage en graf.

[sEirik]

Det var litt av et funksjonsuttrykk du kom frem til! Tror nok faktisk at dette er en ganske vanskelig oppgave, med en ganske avansert kurve.

Her er min løsning:



Jeg fant ikke formelen for kurven, men jeg fant i hvert fall en måte å konstruere den på!

Jeg definerte en kjegle med høyde h og radius r og plasserte den i (0 , 0) i et koordinatsystem. Så lagde jeg en funksjon for planet, g(x) = [x, 0, ax + b].

Så delte jeg kjeglen inn i seksjoner, omtrent som når man setter opp et lavvo-formet telt med spiler. Hver slik "spile" definerte jeg som en funksjon f_0(z), f_30(z), f_60(z), f_90(z) osv., der "undertittelen" til funksjonen angir vinkelen til spilen sett ovenfra. f_0(z) tilsvarer altså spilen som går nedover mot høyre i x-retningen (sett forfra), og f_90(z) tilsvarer spilen som går nedover og bak inn i y-retningen.
Så fant jeg et funksjonsuttrykk for hver av f-funksjonene, gitt ut fra vinkelen i forhold til x-aksen sett ovenfra.

Så så jeg helt bort fra y-aksen og y-koordinatene, og forholdt meg kun til xz-planet, altså systemet sett forfra. Så satte jeg g(x) = f(x) for hver av f-ene, og fikk ut en z-verdi, som da er høyden der hver "spile" skjærer planet.
Når jeg kjente høyden var det bare å bruke Pytagoras' til å finne lengden på hver spile.

Så lagde jeg et lite dataprogram som tegnet figuren basert på de dataene.
Tada!

[Charlatan]

Interessant. Og så er spørsmålet: hvordan ser figuren ut hvis planet danner en parabel/hyperbel langs kjeglen?