matematikk.net

Abels mekaniske problem går ut på, gitt en funksjon [tex]T(y)[/tex] som beskriver tiden et legeme bruker på å skli ned en kurve fra en høyde [tex]y[/tex] i et konstant vertikalt gravitasjonsfelt [tex]\vec{g}[/tex], å finne ligningen til kurven som gir dette resultatet.

For eksempel vil [tex]T(y)=k[/tex], der k er en konstant, oppfylles av en cykloid.

Løs Abels mekaniske problem for

[tex]T(y)=k\sqrt{y}[/tex]

Må det ikke være en gitt begrensning på horisontal lengde på kurven? Hvis ikke kan man enkelt konstruere ei linje som tilfredsstiller ethvert krav.

Jeg ser ikke hvordan det skal være mulig. For en linje finnes kun én [tex]T(y)[/tex], og alle [tex]T(y)[/tex] for rette linjer har samme form.

espen180 skrev:Jeg ser ikke hvordan det skal være mulig. For en linje finnes kun én [tex]T(y)[/tex], og alle [tex]T(y)[/tex] for rette linjer har samme form.

Ved å variere stigningstallet på linja kan du få [tex]T(y)[/tex] til å ha enhver verdi større eller lik [tex]\sqrt{\frac{2y}{g}[/tex] (som du får med en vertikal linje).

f.eks [tex]f(t) = y-at[/tex] gir [tex]T(y)=\sqrt{\frac{2y}{g}} \left( \frac{a^2+1}{a^2} \right)^{\frac{3}{4}}[/tex], og ved å variere [tex]a[/tex] kan du enkelt få enhver likning til å stemme, også [tex]T(y) = k[/tex], ved å velge [tex]a = \frac{1}{\left( \frac{k^2g}{2y} \right)^{\frac{2}{3}}-1}[/tex].

Dette skjer derimot ikke dersom du har et spesifikt sluttpunkt eller begrensninger på en annen måte.

Charlatan skrev:f.eks [tex]f(t) = y-at[/tex] gir [tex]T(y)=\sqrt{\frac{2y}{g}} \left( \frac{a^2+1}{a^2} \right)^{\frac{3}{4}}[/tex], og ved å variere [tex]a[/tex] kan du enkelt få enhver likning til å stemme, også [tex]T(y) = k[/tex], ved å velge [tex]a = \frac{1}{\left( \frac{k^2g}{2y} \right)^{\frac{2}{3}}-1}[/tex].

Dette skjer derimot ikke dersom du har et spesifikt sluttpunkt eller begrensninger på en annen måte.

Men [tex]y[/tex] er ikke konstant, så a er heller ikke konstant, og dette blir ikke en rett linje.

Verdien til [tex]T(y)[/tex] er tiden et legeme bruker på å skli fra høyden [tex]y[/tex] langs kurven det når [tex]y=0[/tex].

Okei, så for å klarere: problemet er å finne en kurve som er slik at for enhver y, og ikke kun for en gitt y?

Det stemmer.

får i hvert fall at følgende likning må tilfredsstilles:

[tex]-\frac{y}{g} = \int^{T(y)}_{f^{-1}(y)} \int ^r_{f^{-1}(y)} \frac{f^{\prime}(x)}{\sqrt{f^{\prime}(x)^2+1}} dxdr[/tex]

Dette er tydeligvis ingen triviell oppgave å finne funksjoner f som tilfredsstiller dette generelt, men man kan kanskje finne en lur funksjon som fungerer for [tex]F(y)=k\sqrt{y}[/tex].

Noe som er lurt å begynne med, er å se hva for informasjon man kan få fra energibevaring.

Hvis [tex]s[/tex] måles langs kurven, vil [tex]\frac{ds}{dt}=\sqrt{2g(y_0-y(t))}[/tex]

der [tex]y_0[/tex] er starthøyden. Dette kan omgjøres til en differensialligning i [tex]y(t)[/tex].

Jeg satt opp en diff.likning og fikk at svaret ble alle skrå linjer.