The Monkey and the Bananas

[Nebuchadnezzar]

Håper ikke alle har sett denne før, og at det går fint at den er på engelsk. Løsningen var ganske gøy ^^

Three sailors were shipwrecked on an island. To make sure that they would
have enough to eat, they spent the day gathering bananas. They put the
bananas in a large pile and decided to divide the bananas equally among
themselves the next morning. However, each sailor distrusted the other
two, so after they were asleep, one of the sailors awoke and divided the
pile of bananas into three equal shares. When he did so, he found that he
had one banana left over; he fed it to a monkey. He then hid his share and
went back to sleep. A second sailor awoke and divided the remaining bananas
into three equal shares. He too found that he had one banana left over and
fed it to the monkey. He then hid his share and went back to sleep. The
third sailor awoke and divided the remaining bananas into three equal shares.
Again, one banana was left over, so he fed it to the monkey. He then hid his
share and went back to sleep. When the sailors got up the next morning, the
pile was noticeably smaller, but since they all felt guilty, none of them
said anything and they all agreed to divide the bananas. When they did so,
one banana was left over and they again gave it to the monkey.

What was the minimal possible number of bananas at the beginning?

[Markonan]

Jeg fikk: [url=http://Antall_bananer:_484]Spoiler[/url]
(hold musen over for å se svaret i lenken).

Dårlig spoilerløsning. Trenger en ordentlig en her på forumet.

Edit
Sånn! Etter en del kløning kom jeg frem til noe jeg tror er riktig.
Morsomt om noen legger ut sitt løsningsforslag.

[Karl_Erik]

Si at det er [tex]n[/tex] bananer i starten. Regner vi ut antallet bananer før de deles siste gang får vi at det er [tex]\frac 2 3 (\frac 2 3 (\frac 2 3 (n-1)-1)-1)[/tex]. Dette skal være 1 mod 3, så vi har [tex]\frac 2 3 (\frac 2 3 (\frac 2 3 (n-1)-1)-1) \equiv 1 \pmod 3[/tex], som betyr at [tex]2 (2 (2(n-1)-3)-9) \equiv 27 \pmod {3^4}[/tex], som ved litt rutinemessig kongruensløsing gir at [tex]n \equiv 79 \pmod {3^4}[/tex]. Siden 79 opplagt er det minste positive heltallet som er kongruent med 79 modulo 81 er det minste mulige antallet bananer 81.

En alternativ måte å innse dette på er først å tenke 'kongruens' og innse at hvis [tex]n[/tex] er et mulig 'bananantall' vil [tex]n+3^4[/tex] også passe (og alle løsninger vil være kongruente mod 81) og deretter observere at hvis det er [tex]-2[/tex] bananer i starten vil ting gå ganske greit opp, for så å legge til [tex]81[/tex] til denne 'jukseløsningen' for å få den minimale løsningen [tex]-2+81=79[/tex].

[Nebuchadnezzar]

La oss si at det er n bananer til og begynne med. Da får vi at sjømannen nr1 deler n i tre deler og det er en banan til overs, det kan vi skrive som

[tex]n = 3a + 1[/tex] Første deling

Sjømannen tar selv en del og vi får [tex]2a[/tex] igjenn, denne delen deler neste sjømann og vi får likningen

[tex]2a = 3b + 1[/tex] Andre deling

Sjømann nr3 tar selv en del og vi står igjen med [tex]2b[/tex] som siste sjømann deler. Da får vi

[tex]2b = 3c + 1[/tex] Tredje deling

Tilslutt deler de bananene seg immellom dagen etterpå

[tex]2c = 3d + 1 [/tex]

Legger vi sammen likningene får vi

[tex]n = \frac{81d+65}{8}[/tex]

[tex]n = 10D + 8 + \frac{d+1}{8}[/tex]

Her ser vi at det minste hele tallet for at n skal være er heltall er [tex]7[/tex]

[tex]n = 10\cdot7 + 8 + \frac{7+1}{8} \Rightarrow n = 79 [/tex]

Oppfølger: Hva med n sjømenn eller n rest ?

[Markonan]

omfg! Fikk 79 først, men da jeg sjekket svaret, kom jeg frem til at det ikke kunne være riktig.

Som straff skal jeg bannlyse meg selv fra forumet.