Finn produktet

[Janhaa]

Ei lita mandagsoppgave:

[tex](1+{1\over 2})\cdot (1+{1\over 3})\cdot (1+{1\over 4})\cdot...\cdot (1+{1\over 2009})[/tex]

[espen180]

[tex]P=\prod_{k=2}^{2009} \frac{k+1}{k} \\ P=\frac{\prod_{k=2}^{2009} k+1}{\prod_{k=2}^{2009} k} \\ P=\frac{\frac{2010!}{2!}}{\frac{2009!}{1!}}=\frac{2010!}{2\cdot 2009!}=\frac{2010}{2}=1005[/tex]

[Charlatan]

Vi er nå i 2010 - fyfy å bruke 2009!

Oppfølger: (som blir tirsdagsoppgaven)

Finn [tex](1+\frac{1}{2})(1+\frac{1}{4})(1+\frac{1}{8})...(1+\frac{1}{2^{2010}})[/tex]

[Nebuchadnezzar]

Er veldig dårlig med disse rekkeoppgavene men har funnet ut at tallene kan skrives om til

[tex]2^{-n}\cdot(2^n+1)[/tex]

Som jeg antar kan blir brukt til noe fornuftig

Vi får da at

[tex]\prod\limits_{n = 1}^{2010} {{2^{ - n}}\left( {{2^n} + 1} \right)} [/tex]

Som jeg ikke er mann nokk til å løse enda, noen tips ?

[Charlatan]

Tips: (1-a)(1+a)=1-a^2

[Nebuchadnezzar]

[tex]\prod\limits_{n = 1}^{2010} {{2^{ - n}}\left( {{2^n} + 1} \right)} [/tex]

Fikser litt på algebraen

[tex] \frac{1}{{{2^n}}}\left( {{2^n} + 1} \right) = \frac{{\left( {{2^n} + 1} \right)}}{{{2^n}}} = \frac{{{2^n}}}{{{2^n}}} + \frac{1}{{{2^n}}} = 1 + {2^{ - n}}[/tex]

Her blir jeg usikker, om dette er lov eller riktig... Antar at det ikke er lov ^^

[tex] \prod\limits_{1 = 2}^{2010} {1 + {2^{ - n}} = } 1 + \prod\limits_{1 = 2}^{2010} {{2^{ - n}} = } 1 + \frac{1}{{{2^{2010!}}}} = \frac{{{2^{2010!}} + 1}}{{{2^{2010!}}}}[/tex]

Forstår ikke helt hvordan det tipset ditt kan brukes på uttrykket [tex]1+2^{-n} [/tex]Charlatan...

Eller så kan vi prøve denne metoden som sikkert også er feil :p

[tex]\frac{{\prod\limits_{n = 2}^{2010} {\left( {{2^n} + 1} \right)} }}{{\prod\limits_{n = 2}^{2010} {{2^n}} }} = \frac{{{2^{\frac{{2011!}}{{2!}}}}}}{{{2^{\frac{{2010!}}{{1!}}}}}} = {2^{\frac{{2011!}}{{2 \cdot 2010!}}}} = {2^{\frac{{2011}}{2}}} [/tex]

[Charlatan]

Nå ser jeg at jeg har skrevet feil i oppgaven, fornyet oppgavetekst skal være:

Finn [tex](1+\frac{1}{2})(1+\frac{1}{2^{2}})(1+\frac{1}{2^{2^{2}}})...(1+\frac{1}{2^{2^{2010}}})[/tex].

[espen180]

Gjør et forsøk.

[tex]P=\prod_{k=0}^{2010} 1+\frac{1}{2^{2^k}}=\prod_{k=0}^{2010}\frac{2^{2^k}+1}{2^{2^{k}}}=\frac{\prod_{k=0}^{2010}2^{2^k}+1}{\prod_{k=0}^{2010}2^{2^k}}\equiv \frac{P_1}{P_2} \\ P_1=\prod_{k=0}^{2010} 2^{2^k}+1=2^{2^{2011}}\,-1 \\ P_2=\prod_{k=0}^{2010}2^{2^k}=2^S\,,\,S=\sum_{n=0}^{2010}2^n=2^{2011}-1 \\ P=\frac{2^{2^{2011}}-1}{2^{2^{2011}-1}}[/tex]

P[sub]1[/sub] fant jeg ved å se på produktene [tex]\prod_{k=0}^{K} 2^{2^k}+1[/tex] for K=0,1,2 og lage et generellt uttrykk fra disse.

[Nebuchadnezzar]

Da tar vi en liten Onsdagsoppgave

Finn summen av det n`te leddet i rekken

[tex](\frac{1}{2}) + (\frac{1}{22}) + (\frac{1}{222}) + (\frac{1}{2....}) [/tex]

Hva med

[tex](\frac{1}{2}) \cdot (\frac{1}{22}) \cdot (\frac{1}{222}) \cdot (\frac{1}{2...}) [/tex]