'Tosifrede' kvadrattall
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Finn alle kvadrattall på formen [tex]\underbrace{aaa \ldots a}_{\textrm{n sifre}}\underbrace{bbb \ldots b}_{\textrm{n sifre}}[/tex]. Altså tall i titallssystemet med [tex]2n[/tex] sifre der de første [tex]n[/tex] sifrene er like og de siste [tex]n[/tex] sifrene er like, som for eksempel [tex]7744=88^2[/tex].
Dette ble en rotete løsning med mye casework. Godt mulig det har sneket seg inn noen feil her, men la gå:
Ved litt bruk av geometriske rekker får vi at [tex]K^2=\underbrace{aaa \ldots a}_{\textrm{n sifre}}\underbrace{bbb \ldots b}_{\textrm{n sifre}}=\frac{10^n-1}{9}b+\left( \frac{10^{2n}-1}{9} -\frac{10^{n}-1}{9} \right)a \Leftrightarrow (10^n-1)(b+10^na)=(3K)^2[/tex]
Anta at [tex]n \geq 2[/tex]. Ser vi på likningen modulo [tex]4[/tex] og [tex]5[/tex], får vi at [tex]b=0,3 \pmod 4[/tex], og [tex]0,1,4 \pmod 5[/tex], som gir [tex]b=4,0[/tex] som eneste muligheter. Dersom [tex]b=0[/tex] har vi at [tex](10^n-1)10^n a=(3k)^2[/tex]. Hvis [tex]n=2s+1[/tex], må [tex](10^{2s+1}-1)10a[/tex] være et kvadrattall. Det kan det ikke være siden [tex]10[/tex] ikke er en faktor i hverken [tex]a[/tex] eller [tex](10^{2s+1}-1)[/tex]. Hvis [tex]n=2s[/tex], så må [tex](10^{2s}-1)a[/tex] være et kvadrattall. Modulo [tex]4[/tex] gir at [tex]a=0,3 \pmod 4[/tex], så [tex]a=3,4,7,8[/tex] er eneste mulige løsninger. Vi kan øyeblikkelig forkaste [tex]4[/tex], siden [tex]10^{2s}-1[/tex] ikke er et kvadrattall, og samtidig [tex]8[/tex], siden [tex](10^{2s}-1)2[/tex] ikke er et kvadrattall ettersom [tex]2 \not | 10^{2s}-1[/tex]. Hvis [tex]a=7,3[/tex], vil likningen modulo [tex]5[/tex] gi at venstresiden er lik [tex]3,2 \pmod 5[/tex] respektivt, som er en umulighet.
Vi kan nå anta at [tex]a=4[/tex]. Vi må altså løse [tex](10^n-1)(4+b \cdot 10^n)=(3K)^2[/tex], eller [tex](10^n-1)(1+25b \cdot 10^{n-2})=(\frac{3K}{2})^2[/tex]. Om vi nå antar at [tex]n \geq 4[/tex], og ser på likningen modulo [tex]4[/tex], så er venstresiden lik [tex]3[/tex] modulo [tex]4[/tex], som er en umulighet.
La nå [tex]n=3[/tex]. Vi har da [tex]999(4+1000b)=(3k)^2 \Rightarrow 3 \cdot 37(4+1000b)=k^2[/tex]. Modulo [tex]4[/tex] har vi at [tex]2b=0,1 \pmod 4[/tex], som gir [tex]b=4,8 \ [/tex]. [tex]3|4+1000b \Rightarrow 3 |1+b[/tex], så [tex]b=2 \pmod 3[/tex], som gir [tex]b=8[/tex]. Dette gir ikke imidlertid ikke et kvadrattall.
La [tex]n=2[/tex]. Da har vi at [tex]11(4+100b)=k^2. \ 11 | 4+100b \Rightarrow 11 | 4+b \Rightarrow b=7[/tex]. I eksempelet ditt er dette en mulighet.
Til sist ser vi på [tex]n=1[/tex], da uten noen restriksjoner på [tex]a[/tex] og [tex]b[/tex]. Vi har da de trivielle løsningene som er alle kvadrattall med [tex]2[/tex] siffer.
Ved litt bruk av geometriske rekker får vi at [tex]K^2=\underbrace{aaa \ldots a}_{\textrm{n sifre}}\underbrace{bbb \ldots b}_{\textrm{n sifre}}=\frac{10^n-1}{9}b+\left( \frac{10^{2n}-1}{9} -\frac{10^{n}-1}{9} \right)a \Leftrightarrow (10^n-1)(b+10^na)=(3K)^2[/tex]
Anta at [tex]n \geq 2[/tex]. Ser vi på likningen modulo [tex]4[/tex] og [tex]5[/tex], får vi at [tex]b=0,3 \pmod 4[/tex], og [tex]0,1,4 \pmod 5[/tex], som gir [tex]b=4,0[/tex] som eneste muligheter. Dersom [tex]b=0[/tex] har vi at [tex](10^n-1)10^n a=(3k)^2[/tex]. Hvis [tex]n=2s+1[/tex], må [tex](10^{2s+1}-1)10a[/tex] være et kvadrattall. Det kan det ikke være siden [tex]10[/tex] ikke er en faktor i hverken [tex]a[/tex] eller [tex](10^{2s+1}-1)[/tex]. Hvis [tex]n=2s[/tex], så må [tex](10^{2s}-1)a[/tex] være et kvadrattall. Modulo [tex]4[/tex] gir at [tex]a=0,3 \pmod 4[/tex], så [tex]a=3,4,7,8[/tex] er eneste mulige løsninger. Vi kan øyeblikkelig forkaste [tex]4[/tex], siden [tex]10^{2s}-1[/tex] ikke er et kvadrattall, og samtidig [tex]8[/tex], siden [tex](10^{2s}-1)2[/tex] ikke er et kvadrattall ettersom [tex]2 \not | 10^{2s}-1[/tex]. Hvis [tex]a=7,3[/tex], vil likningen modulo [tex]5[/tex] gi at venstresiden er lik [tex]3,2 \pmod 5[/tex] respektivt, som er en umulighet.
Vi kan nå anta at [tex]a=4[/tex]. Vi må altså løse [tex](10^n-1)(4+b \cdot 10^n)=(3K)^2[/tex], eller [tex](10^n-1)(1+25b \cdot 10^{n-2})=(\frac{3K}{2})^2[/tex]. Om vi nå antar at [tex]n \geq 4[/tex], og ser på likningen modulo [tex]4[/tex], så er venstresiden lik [tex]3[/tex] modulo [tex]4[/tex], som er en umulighet.
La nå [tex]n=3[/tex]. Vi har da [tex]999(4+1000b)=(3k)^2 \Rightarrow 3 \cdot 37(4+1000b)=k^2[/tex]. Modulo [tex]4[/tex] har vi at [tex]2b=0,1 \pmod 4[/tex], som gir [tex]b=4,8 \ [/tex]. [tex]3|4+1000b \Rightarrow 3 |1+b[/tex], så [tex]b=2 \pmod 3[/tex], som gir [tex]b=8[/tex]. Dette gir ikke imidlertid ikke et kvadrattall.
La [tex]n=2[/tex]. Da har vi at [tex]11(4+100b)=k^2. \ 11 | 4+100b \Rightarrow 11 | 4+b \Rightarrow b=7[/tex]. I eksempelet ditt er dette en mulighet.
Til sist ser vi på [tex]n=1[/tex], da uten noen restriksjoner på [tex]a[/tex] og [tex]b[/tex]. Vi har da de trivielle løsningene som er alle kvadrattall med [tex]2[/tex] siffer.
Oppfølger: Finn alle kvadrater på formen [tex]\underbrace{aaa \ldots a}_{\textrm{n sifre}}\underbrace{bbb \ldots b}_{\textrm{n sifre}}\underbrace{ccc \ldots c}_{\textrm{n sifre}}[/tex]
Hva med [tex]k[/tex] forskjellige sifre på samme måte?
Hva med [tex]k[/tex] forskjellige sifre på samme måte?