Tallteori: Delelighet
Lagt inn: 10/12-2009 11:28
Finn alle heltallige [tex]n[/tex] slik at [tex]\frac{5^n+\sqrt{n}}{3}[/tex] er et heltall.
Her må [tex]n[/tex] være åpenbart være et kvadrattall. Så [tex]n=m^2[/tex] for et ikke-negativt heltall [tex]m[/tex]. Videre kan [tex]m[/tex] uttrykkes på formen [tex]m = 6q + r[/tex], der [tex]q[/tex] og [tex]r[/tex] er ikke-negative heltall med [tex]0 \leq r \leq 5[/tex]. Nå er
[tex]5^n +\, \sqrt{n} \: = \: 5^{(6q+r)^2} + \, \sqrt{(6q+r)^2} \: = \: 5^{12q(3q+r)+r^2} + \, 6q \,+\, r \equiv (-1)^{r^2} \,+\, r \, \pmod{3}[/tex]
i.o.m. at [tex]5^{2t} \equiv [(-1)^2]^t \equiv 1^t = 1 \, \pmod{3}[/tex] for alle ikke-negative heltall [tex]t[/tex].
Ved å sette inn de seks mulige verdiene for [tex]r[/tex] finner vi at
[tex](-1)^{r^2} \,+\, r \, \equiv \, 0 \, \pmod{3} \;\; \Longleftrightarrow \;\; r = 1,2.[/tex]
Dermed kan vi konkludere med at [tex]\frac{5^n +\, \sqrt{n}}{3}[/tex] er et heltall hvis og bare hvis
[tex]n = (6q+r)^2 \; \mbox{der} \; q \; \mbox{er et ikke-negativt heltall og} \; r \in \{1,2\}.[/tex]
