Tenkte at jeg skulle legge ut en oppgave jeg nylig oppdaget i calculus boken min. Oppgaven er tatt fra boken "Calculus" av Michael Spivak (som jeg forøvrig anbefaler på det sterkeste, den har mange gøye og utfordrende oppgaver).
1)
Anta at [tex]\frac{f(x)}{x}[/tex] er integrerbar på hvert intervall [tex][a,b][/tex] for [tex]0<a<b[/tex], og at [tex]\lim_{x\to0} f(x) = A[/tex] og [tex]\lim_{x\to\infty} f(x) = B[/tex]. Bevis at for alle [tex]\alpha , \beta > 0 [/tex] har vi:
[tex]\int_{0}^\infty \frac{f(\alpha x) - f(\beta x)}{x} dx = (A-B)ln\frac{\beta}{\alpha} [/tex]
(Dette integralet kalles Froullani's integral.)
2)
Anta nå at [tex]\int_{a}^\infty \frac{f(x)}{x}dx[/tex] konvergerer for alle [tex]a > 0[/tex] og at [tex]\lim_{x\to0} f(x) = A[/tex]. Bevis at
[tex]\int_{0}^\infty \frac{f(\alpha x) - f(\beta x)}{x} dx = Aln\frac{\beta}{\alpha} [/tex]
3)
Finn følgende integral:
(i) [tex]\int_{0}^\infty \frac{e^{-\alpha x} - e^{-\beta x}}{x} dx [/tex]
(ii) [tex]\int_{0}^\infty \frac{cos(\alpha x) - cos(\beta x)}{x} dx[/tex]
litt integralmorro
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Fin oppgave ja!
Ved å gjøre de passende substitusjonene får vi:
[tex]I=\int^b_a \frac{f(\alpha x)-f(\beta x)}{x} \rm{d}x=\int^b_a \frac{f(\alpha x)}{x} \rm{d}x-\int^b_a \frac{f(\alpha x)}{x} \rm{d}x \\ =\int^{\alpha b}_{\alpha a} \frac{f(x)}{x} \rm{d}x-\int^{\beta b}_{ \beta a} \frac{f(x)}{x} \rm{d}x=\int^{\alpha b}_{\beta b} \frac{f(x)}{x} \rm{d}x-\int^{\alpha a}_{ \beta a} \frac{f(x)}{x} \rm{d}x \\ =\int^{\alpha}_{\beta} \frac{f(bx)}{x} \rm{d}x-\int^{\alpha}_{ \beta} \frac{f(ax)}{x} \rm{d}x = \int^{\alpha}_{\beta} \frac{f(bx)-f(ax)}{x}\rm{d}x[/tex]
[tex]\lim_{a \to 0} \lim_{b \to \infty} I=\lim_{a \to 0} \lim_{b \to \infty} \int^{\alpha}_{\beta} \frac{f(bx)-f(ax)}{x}\rm{d}x = \int^{\alpha}_{\beta} \frac{B-A}{x}\rm{d}x=(B-A)[\log x]^\alpha_\beta=(B-A)\log \frac{\alpha}{\beta}=(A-B)\log \frac{\beta}{\alpha}[/tex]
2)
La [tex]\int^{\infty}_c \frac{f(x)}{x}\rm{d}x=C[/tex] for en [tex]c[/tex].
Ved å følge samme framgangsmåte som sist, får vi at
[tex]I= \int^{\alpha}_{\beta} \frac{f(bx)}{x} \rm{d}x-\int^{\alpha}_{ \beta} \frac{f(ax)}{x} \rm{d}x=\int^{b \alpha}_{b \beta} \frac{f(x)}{x} \rm{d}x-\int^{\alpha}_{ \beta} \frac{f(ax)}{x} \rm{d}x[/tex]
La [tex]I(b)=\int^{b \alpha}_{b \beta} \frac{f(x)}{x} \rm{d}x=\int^{b \alpha}_{c} \frac{f(x)}{x} \rm{d}x-\int^{b \beta}_{c} \frac{f(x)}{x} \rm{d}x[/tex]
Da ser vi at [tex]\lim_{b \to \infty} I(b)=\lim_{b \to \infty} \int^{b \alpha}_{c} \frac{f(x)}{x} \rm{d}x-\int^{b \beta}_{c} \frac{f(x)}{x} \rm{d}x=C-C=0[/tex]
Altså har vi at [tex]\lim_{a \to 0} \lim_{b \to \infty} I=0-\lim_{a \to 0} \int^{\alpha}_{ \beta} \frac{f(ax)}{x} \rm{d}x=-\int^{\alpha}_{ \beta} \frac{A}{x} \rm{d}x=-A\log \frac{\alpha}{\beta}=A\log \frac{\beta}{\alpha}[/tex]
EDIT: Endret grensene
Ved å gjøre de passende substitusjonene får vi:
[tex]I=\int^b_a \frac{f(\alpha x)-f(\beta x)}{x} \rm{d}x=\int^b_a \frac{f(\alpha x)}{x} \rm{d}x-\int^b_a \frac{f(\alpha x)}{x} \rm{d}x \\ =\int^{\alpha b}_{\alpha a} \frac{f(x)}{x} \rm{d}x-\int^{\beta b}_{ \beta a} \frac{f(x)}{x} \rm{d}x=\int^{\alpha b}_{\beta b} \frac{f(x)}{x} \rm{d}x-\int^{\alpha a}_{ \beta a} \frac{f(x)}{x} \rm{d}x \\ =\int^{\alpha}_{\beta} \frac{f(bx)}{x} \rm{d}x-\int^{\alpha}_{ \beta} \frac{f(ax)}{x} \rm{d}x = \int^{\alpha}_{\beta} \frac{f(bx)-f(ax)}{x}\rm{d}x[/tex]
[tex]\lim_{a \to 0} \lim_{b \to \infty} I=\lim_{a \to 0} \lim_{b \to \infty} \int^{\alpha}_{\beta} \frac{f(bx)-f(ax)}{x}\rm{d}x = \int^{\alpha}_{\beta} \frac{B-A}{x}\rm{d}x=(B-A)[\log x]^\alpha_\beta=(B-A)\log \frac{\alpha}{\beta}=(A-B)\log \frac{\beta}{\alpha}[/tex]
2)
La [tex]\int^{\infty}_c \frac{f(x)}{x}\rm{d}x=C[/tex] for en [tex]c[/tex].
Ved å følge samme framgangsmåte som sist, får vi at
[tex]I= \int^{\alpha}_{\beta} \frac{f(bx)}{x} \rm{d}x-\int^{\alpha}_{ \beta} \frac{f(ax)}{x} \rm{d}x=\int^{b \alpha}_{b \beta} \frac{f(x)}{x} \rm{d}x-\int^{\alpha}_{ \beta} \frac{f(ax)}{x} \rm{d}x[/tex]
La [tex]I(b)=\int^{b \alpha}_{b \beta} \frac{f(x)}{x} \rm{d}x=\int^{b \alpha}_{c} \frac{f(x)}{x} \rm{d}x-\int^{b \beta}_{c} \frac{f(x)}{x} \rm{d}x[/tex]
Da ser vi at [tex]\lim_{b \to \infty} I(b)=\lim_{b \to \infty} \int^{b \alpha}_{c} \frac{f(x)}{x} \rm{d}x-\int^{b \beta}_{c} \frac{f(x)}{x} \rm{d}x=C-C=0[/tex]
Altså har vi at [tex]\lim_{a \to 0} \lim_{b \to \infty} I=0-\lim_{a \to 0} \int^{\alpha}_{ \beta} \frac{f(ax)}{x} \rm{d}x=-\int^{\alpha}_{ \beta} \frac{A}{x} \rm{d}x=-A\log \frac{\alpha}{\beta}=A\log \frac{\beta}{\alpha}[/tex]
EDIT: Endret grensene
Sist redigert av Charlatan den 07/12-2009 12:16, redigert 3 ganger totalt.
3) følger lett fra 1) når vi ser at [tex]\lim_{x \to 0}e^{-x}=1[/tex], og [tex]\lim_{x \to \infty }e^{-x}=0[/tex].
Vi bruker formelen og får at [tex]\int^{\infty}_0 \frac{e^{-\alpha x}-e^{-\beta x}}{x}\rm{d}x=\log \frac {\beta}{\alpha}[/tex]
4) følger fra 2): Vi har at [tex]\lim_{x \to 0}\cos(x)=1[/tex], og [tex]I=\int^b_a \frac{\cos(x)}{x}\rm{d}x=[\frac{\sin(x)}{x}]^b_a+\int^b_a \frac{\sin(x)}{x^2}\rm{d}x[/tex].
Vi ser at [tex]|\int^b_a \frac{\sin(x)}{x^2}\rm{d}x| \leq \int^b_a \frac{1}{x^2}=\frac{1}{a}-\frac{1}{b}[/tex],
og [tex]|[\frac{\sin(x)}{x}]^b_a| \leq |\frac{\sin(b)}{b}|+|\frac{\sin(a)}{a}| \leq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}[/tex]
Altså har vi at [tex]|I| \leq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{a}-\frac{1}{b}=\frac{2}{a}[/tex], så [tex]I[/tex] konvergerer for alle [tex]a>0[/tex].
Ved å bruke formelen er da [tex]\int^{\infty}_0 \frac{\cos(\alpha x)-\cos(\beta x)}{x} \rm{d}x=\log \frac{\beta}{\alpha}[/tex]
EDIT: Rettet noen småting
Vi bruker formelen og får at [tex]\int^{\infty}_0 \frac{e^{-\alpha x}-e^{-\beta x}}{x}\rm{d}x=\log \frac {\beta}{\alpha}[/tex]
4) følger fra 2): Vi har at [tex]\lim_{x \to 0}\cos(x)=1[/tex], og [tex]I=\int^b_a \frac{\cos(x)}{x}\rm{d}x=[\frac{\sin(x)}{x}]^b_a+\int^b_a \frac{\sin(x)}{x^2}\rm{d}x[/tex].
Vi ser at [tex]|\int^b_a \frac{\sin(x)}{x^2}\rm{d}x| \leq \int^b_a \frac{1}{x^2}=\frac{1}{a}-\frac{1}{b}[/tex],
og [tex]|[\frac{\sin(x)}{x}]^b_a| \leq |\frac{\sin(b)}{b}|+|\frac{\sin(a)}{a}| \leq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}[/tex]
Altså har vi at [tex]|I| \leq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{a}-\frac{1}{b}=\frac{2}{a}[/tex], så [tex]I[/tex] konvergerer for alle [tex]a>0[/tex].
Ved å bruke formelen er da [tex]\int^{\infty}_0 \frac{\cos(\alpha x)-\cos(\beta x)}{x} \rm{d}x=\log \frac{\beta}{\alpha}[/tex]
EDIT: Rettet noen småting
Sist redigert av Charlatan den 07/12-2009 17:33, redigert 4 ganger totalt.