Sum

[Janhaa]

Beregn summen

[tex]6+66+666+...+\underbrace{666...6}[/tex]
[tex]\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\text n ant seksere[/tex]

[Nebuchadnezzar]

Håper dette er riktig...


[tex] 6\sum\limits_{k = 0}^{n - 1} {{{10}^k}} [/tex]

[tex] Dette{\rm{ er lik en g}}eometrisk{\rm{ rekke p{\aa} formen}} [/tex]
[tex] \frac{1}{9}\left( {{{10}^n} - 1} \right) [/tex]

[tex] S{\aa}{\rm{ ganger vi ligningen med 6 }} [/tex]

[tex] \frac{2}{3}\left( {{{10}^n} - 1} \right) [/tex]

[tex] Og{\rm{ n{\aa} vil vi finne summen til }}k = 1{\rm{ til }}n [/tex]

[tex] Dette{\rm{ kan vi dele opp i to summer}} [/tex]

[tex] \frac{2}{3}\left( {{{10}^k} - 1} \right) = \frac{2}{{27}}[{10^{\left( {n + 1} \right)}} - 10]{\rm{ }}og{\rm{ }} - \frac{2}{3} = - \frac{{2n}}{3} [/tex]


[tex] Setter{\rm{ vi inn verdiene for k og trekker sammen f{\aa}r vi}}[/tex]

[tex] \underline{\underline {{\rm{ }}\frac{2}{{27}}\left[ {{{10}^{\left( {n + 1} \right)}} - 10 - 9n} \right]{\rm{ }}}}[/tex]

[Janhaa]

dette ser bra ut...

[Nebuchadnezzar]

Innleget mitt ble veldig rotetete...

Oppfølger.

Finn summen av det n`te leddet i rekken [tex]1 \, + \, 12 \, + \, 123 \, + \, 1234 \, ... [/tex]

[Realist1]

Muligens dumt spørsmål, men kan jeg spørre hva som kommer etter 123456789? Hvis det er 1234567890, begynner det da igjen med 12345678901 ?

[Janhaa]

ikke dumt spm det! for
[tex]n \leq 9[/tex]
kan a_n skrives slik iallfall:

[tex]a_n=10^{n-1}\,+\,2*10^{n-2}\,+\,3*10^{n-3}\,+\,...\,+\,(n-1)10^1\,+\,n*10^0[/tex]

[tex]a_n=10^{n-1}\,+\,2*10^{n-2}\,+\,3*10^{n-3}\,+\,...\,+\,(n-1)10^\,+\,n[/tex]

[tex]a_n=10^{n-1}\left(1\,+\,2*10^{-1}\,+\,3*10^{-2}\,+\,...\,+\,(n-1)*10^{2-n}+n*10^{1-n}\right)[/tex]

dette er vel en kombinert aritmetisk og geometrisk rekke.

a_n kan skrives

[tex]a_n={1\over 81}\left(10^{n+1}\,-\,9n\,-\,10\right)[/tex]

det finnes en sumformel for slike aritmetiske og geometriske rekker, som jeg søkte på:

[tex]S_n=\displaystyle\sum_{1}^n a_n [/tex]

tja, denne må jeg nok komme tilbake til...

[Janhaa]

Fortsetter:

[tex]a_n={1\over 81}\left(10^{n+1}\,-\,9n\,-\,10\right)[/tex]

[tex]S_n=\displaystyle\sum_{1}^n a_n [/tex]

der røver'n kan skrives som sum av 3 deler;

[tex]S_{n1}=\displaystyle\sum_{1}^n (10^{n+1})= \frac{100*(10^n-1)}{10-1}=\frac{100*(10^n-1)}{9}[/tex]

[tex]S_{n2}=\displaystyle\sum_1^n (9n)=\frac{9n*(n+1)}{2}[/tex]

[tex]S_{n3}=\displaystyle\sum_1^n (10)=10n [/tex]
---------------------------

[tex]S_{n}=\displaystyle\sum_1^n={1\over 81}\left(\frac{100*(10^n-1)}{9}\,-\, \frac{9n*(n+1)}{2}\,-\,10n \right)[/tex]

[Nebuchadnezzar]

Dette ser veldig bra ut. (Imponerende)

Om du definerer som at

a_10 = 1234567890 eller a_10 = 1234567891

Spiller forsåvidt ingen rolle når regningen er den samme.

Kanskje bare meg som er litt dum, men med den formelen der gir det vell en ganske stor usikkerhet når [tex]a_n > 9[/tex]

Utifra formelen får vi

[tex]a_1 \, = \, 1[/tex]
[tex]a_2 \, = \, 12[/tex]

[tex]...[/tex]

[tex]a_9 \, = \, 123456789[/tex]

Her til ser alt til å fungere normalt, men så blir ting litt merkelig.

[tex]a_{10} \, = \, 12345678900[/tex]
[tex]a_{11} \, = \, 123456789011[/tex]
[tex]a_{12} \, = \, 1234567890122 [/tex]
[tex]a_{13} \, = \, 12345678901233[/tex]