Sum og produkt

[Charlatan]

La [tex]a_n[/tex] være en positiv reell følge. Vis følgende:

[tex]\sum^{\infty}_{n=0} a_n[/tex] konvergerer [tex]\Leftrightarrow \prod^{\infty}_{n=0}(1+a_n)[/tex] konvergerer.

[Gustav]

Produktet konvergerer hvis og bare hvis

[tex]\ln \prod_{n=0}^{\infty}(1+a_n)[/tex] konvergerer, og siden

[tex]x-\ln(1+x)>0[/tex] (for x>0) vil

[tex]\sum_{n=0}^{\infty} \ln(1+a_n)<\sum_{n=0}^{\infty} a_n[/tex]. Hvis summen konvergerer vil altså produktet konvergere.

Den andre veien kan noen andre ta...

[Charlatan]

ja, det stemmer dette. den andre veien er triviell, produktet er åpenbart større enn summen.

[Karl_Erik]

En alternativ måte å vise implikasjonen plutarco viste er å bruke AM-GM. [tex]\prod _{i=1} ^n (1+a_i) \leq \( \frac {n+\sum ^n a_i} n \)^n = \( 1+\frac {\sum ^n a_i} n \)^n[/tex], som, når vi lar [tex]n[/tex] gå mot uendelig, går mot [tex]e^{\frac 1 {\sum a_i}}[/tex], så om summen er konvergent vil (det monotont voksende) produktet være oppad begrenset og derfor også konvergent.

[Charlatan]

Bra, men litt pirk bare: brøken i eksponenten står vel opp ned.

[mrcreosote]

Oppfølger: Kan man finne en positiv følge a_n så vi har likhet i Karl Eriks ulikhet, altså [tex]\prod a_n=\exp(\sum a_n)[/tex], eller kan man i det minste komme vilkårlig nær likhet?

[Karl_Erik]

Bra, men litt pirk bare: brøken i eksponenten står vel opp ned.

Whoops, ja. Jeg er ikke helt sikker på hva jeg tenkte på der. Spørsmål til mrcreosote - krever vi at [tex]\prod_{i=1} ^n a_i = exp({\sum_{i=1} ^n a_i})[/tex] for alle [tex]n[/tex]?

[mrcreosote]

Først, jeg ser at jeg har skrevet feil, det skal være produktet av 1+a_n. Hvis det skal holde for n=1, får vi 1+a=e^a som ikke har noen positive løsninger, så vi holder oss til likhet i grensa.