La [tex]a_n=\sqrt{1+(1+\frac1n)^2}+\sqrt{1+(1-\frac1n)^2}[/tex] og [tex]s_N=\sum_{n=1}^N \frac1{a_n}[/tex].
3 oppgaver i stigende vanskelighetsgrad:
1) Vis at s_N er et heltall når N=3.
2) Vis at s_N er et heltall når N=20.
3) Pell ut de naturlige talla N som er slik at s_N er et heltall.
Sum=heltall?
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Vi har (der summasjonsindeksene er sløyfet) [tex]\sum \frac 1 {sqrt{1+(1+ \frac 1 n)^2} + sqrt{1+(1- \frac 1 n)^2} } = \sum \frac {sqrt{1+(1+ \frac 1 n)^2} - sqrt{1+(1- \frac 1 n)^2} } {{1+(1+ \frac 1 n)^2} - (1+(1- \frac 1 n)^2) } = \sum \frac {sqrt{1+(1+ \frac 1 n)^2} - sqrt{1+(1- \frac 1 n)^2} } {(1+ \frac 1 n)^2 - (1- \frac 1 n)^2}[/tex]
[tex]=\sum \frac {sqrt{1+(1+ \frac 1 n)^2} - sqrt{1+(1- \frac 1 n)^2} } {2(\frac 2 n)} = \frac 1 4 \sum sqrt{n^2+(n+1)^2} - sqrt{n^2 + (n-1)^2} = \frac {sqrt{N^2 + (N+1)^2} - 1} 4[/tex]
Utifra dette kan vi lett løse de to første deloppgavene ved å sette [tex]N=3[/tex] og [tex]N=20[/tex] og se at [tex]s_N[/tex] blir et helt tall av uttrykket vårt. Vi ser også at [tex]s_N[/tex] vil være et heltall hvis og bare hvis likningen [tex]N^2 + (N+1)^2 = c^2[/tex] har en heltallsløsning der [tex]c=4k+1[/tex], som jeg får gruble litt på utover kvelden.
[tex]=\sum \frac {sqrt{1+(1+ \frac 1 n)^2} - sqrt{1+(1- \frac 1 n)^2} } {2(\frac 2 n)} = \frac 1 4 \sum sqrt{n^2+(n+1)^2} - sqrt{n^2 + (n-1)^2} = \frac {sqrt{N^2 + (N+1)^2} - 1} 4[/tex]
Utifra dette kan vi lett løse de to første deloppgavene ved å sette [tex]N=3[/tex] og [tex]N=20[/tex] og se at [tex]s_N[/tex] blir et helt tall av uttrykket vårt. Vi ser også at [tex]s_N[/tex] vil være et heltall hvis og bare hvis likningen [tex]N^2 + (N+1)^2 = c^2[/tex] har en heltallsløsning der [tex]c=4k+1[/tex], som jeg får gruble litt på utover kvelden.
Hvis [tex](N+1)^2+N^2=c^2[/tex] for en [tex]c[/tex], så er [tex]N=\frac{\sqrt{2c^2-1}-1}{2}[/tex]
Vi vil finne alle positive heltallsløsninger til [tex]2c^2-1=d^2[/tex] . Vi trikser litt med likningen (inspirert av pell's equation) og får:
[tex](\sqrt{2}c+d)(\sqrt{2}c-d)=1[/tex]
Ganger vi hver side med [tex](3+2\sqrt{2})(3-2\sqrt{2})[/tex] får vi:
[tex][\sqrt{2}(3c+2d)-(4c+3d)][\sqrt{2}(3c+2d)-(4c+3d)]=1[/tex]
Vi kan altså enkelt generere nye løsninger ved å la [tex](c_0,d_0)=(1,1)[/tex], og [tex](c_{k+1},d_{k+1})=(3c_k+2d_k,4c_k+3d_k)[/tex]
Dermed er [tex]N=\frac{\sqrt{2c_k^2-1}-1}{2}[/tex] et heltall for ethvert tall [tex]k[/tex].
Anta at [tex](x_0,y_0)[/tex] er en positiv løsning på likningen [tex](2c^2-d^2=1)[/tex] slik at [tex]x_0[/tex] og [tex]y_0[/tex] er positive og [tex]x_0[/tex] er minst mulig, men ikke er i mengden av [tex](c_i,d_i)[/tex]. Ved å løse [tex]x_0=3x+2y, y_0=4x+3y[/tex] får vi at
[tex]x=3x_0-2y_0[/tex], og [tex]y=3y_0-4x_0[/tex].
[tex]x>0 \Leftrightarrow x_0^2+4>0[/tex] og [tex]y>0 \Leftrightarrow x_0^2>9[/tex] som er sant. Vi ser at [tex](x,y)[/tex] er en løsning, men [tex]x=3x_0-2y_0<x_0 \Leftrightarrow x_0<y_0[/tex] som motsier minimaliteten til [tex]x_0[/tex]. Slike [tex]x_0[/tex] og [tex]y_0[/tex] kan altså ikke eksistere, så vi har funnet alle løsninger.
Vi kan finne en eksplisitt form for [tex]N[/tex]:
[tex]N=\frac{(\sqrt{2}+1)(3+2\sqrt{2})^n-(\sqrt{2}-1)(3-2\sqrt{2})^n-2}{4}[/tex] for [tex]n=1,2,3...[/tex] som gir [tex]N=3,20,119,696,4059,...[/tex] som de 5 første verdiene.
Vi vil finne alle positive heltallsløsninger til [tex]2c^2-1=d^2[/tex] . Vi trikser litt med likningen (inspirert av pell's equation) og får:
[tex](\sqrt{2}c+d)(\sqrt{2}c-d)=1[/tex]
Ganger vi hver side med [tex](3+2\sqrt{2})(3-2\sqrt{2})[/tex] får vi:
[tex][\sqrt{2}(3c+2d)-(4c+3d)][\sqrt{2}(3c+2d)-(4c+3d)]=1[/tex]
Vi kan altså enkelt generere nye løsninger ved å la [tex](c_0,d_0)=(1,1)[/tex], og [tex](c_{k+1},d_{k+1})=(3c_k+2d_k,4c_k+3d_k)[/tex]
Dermed er [tex]N=\frac{\sqrt{2c_k^2-1}-1}{2}[/tex] et heltall for ethvert tall [tex]k[/tex].
Anta at [tex](x_0,y_0)[/tex] er en positiv løsning på likningen [tex](2c^2-d^2=1)[/tex] slik at [tex]x_0[/tex] og [tex]y_0[/tex] er positive og [tex]x_0[/tex] er minst mulig, men ikke er i mengden av [tex](c_i,d_i)[/tex]. Ved å løse [tex]x_0=3x+2y, y_0=4x+3y[/tex] får vi at
[tex]x=3x_0-2y_0[/tex], og [tex]y=3y_0-4x_0[/tex].
[tex]x>0 \Leftrightarrow x_0^2+4>0[/tex] og [tex]y>0 \Leftrightarrow x_0^2>9[/tex] som er sant. Vi ser at [tex](x,y)[/tex] er en løsning, men [tex]x=3x_0-2y_0<x_0 \Leftrightarrow x_0<y_0[/tex] som motsier minimaliteten til [tex]x_0[/tex]. Slike [tex]x_0[/tex] og [tex]y_0[/tex] kan altså ikke eksistere, så vi har funnet alle løsninger.
Vi kan finne en eksplisitt form for [tex]N[/tex]:
[tex]N=\frac{(\sqrt{2}+1)(3+2\sqrt{2})^n-(\sqrt{2}-1)(3-2\sqrt{2})^n-2}{4}[/tex] for [tex]n=1,2,3...[/tex] som gir [tex]N=3,20,119,696,4059,...[/tex] som de 5 første verdiene.