La [tex]f : (0,1) \to \mathbb{R}[/tex] være definert ved
[tex]x[/tex] er irrasjonal [tex]\Rightarrow f(x)=0[/tex]
[tex]x = \frac{p}{q},p,q>0, (p,q)=1 \Rightarrow f(x)=\frac{1}{q}[/tex]
Hvor er [tex]f[/tex] kontinuerlig, og hvor er den diskontinuerlig?
Kontinuitet
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
[tex]f[/tex] er diskontinuerlig i alle rasjonale punkter [tex]\frac p q[/tex] kan velge epsilon slik at [tex]\epsilon < \frac 1 q[/tex]. Siden ethvert intervall med mer enn ett punkt vil inneholde et irrasjonalt punkt vil det finnes et irrasjonalt punkt i alle intervaller som inneholder [tex]\frac p q[/tex] og et annet punkt slik at vi samme hvordan vi velger delta vil få en irrasjonal x slik at [tex]|f(\frac p q ) - f(x)| = |f( \frac p q)| = \frac 1 q >\epsilon[/tex].
[tex]f[/tex] er kontinuerlig i alle irrasjonale punkter [tex]y[/tex]. Gitt en [tex]\epsilon \leq 1[/tex] (epsilon større enn én er opplagt lett) finner vi den minste [tex]q[/tex] slik at [tex]\epsilon \leq \frac 1 q[/tex]. Vi har da at [tex]\epsilon > \frac 1 p[/tex] for alle [tex]p>q[/tex]. Det finnes bare endelig mange tall r slik at [tex]f(r)\geq \frac 1 q[/tex], nemlig [tex] 1, \frac 1 2, \frac 1 3, \frac 2 3, \ldots, \frac {q-1} q[/tex]. Vi kan da bare velge delta slik at den er strengt mindre enn det minste av tallene [tex]|y-1|, |y-\frac 1 2|, \ldots, |y-\frac {q-1} q|[/tex] og dermed ha at [tex]|f(y)-f(x)| = |-f(x)|\leq |\frac 1 {q+1}| < \epsilon[/tex] for alle [tex][tex][/tex]x[tex][tex][/tex] slik at [tex]|x-y| < \delta[/tex], og vi er ferdige.
[tex]f[/tex] er kontinuerlig i alle irrasjonale punkter [tex]y[/tex]. Gitt en [tex]\epsilon \leq 1[/tex] (epsilon større enn én er opplagt lett) finner vi den minste [tex]q[/tex] slik at [tex]\epsilon \leq \frac 1 q[/tex]. Vi har da at [tex]\epsilon > \frac 1 p[/tex] for alle [tex]p>q[/tex]. Det finnes bare endelig mange tall r slik at [tex]f(r)\geq \frac 1 q[/tex], nemlig [tex] 1, \frac 1 2, \frac 1 3, \frac 2 3, \ldots, \frac {q-1} q[/tex]. Vi kan da bare velge delta slik at den er strengt mindre enn det minste av tallene [tex]|y-1|, |y-\frac 1 2|, \ldots, |y-\frac {q-1} q|[/tex] og dermed ha at [tex]|f(y)-f(x)| = |-f(x)|\leq |\frac 1 {q+1}| < \epsilon[/tex] for alle [tex][tex][/tex]x[tex][tex][/tex] slik at [tex]|x-y| < \delta[/tex], og vi er ferdige.