Likningssystem

[Janhaa]

Finn alle hele løsninger til likningssystemet:

[tex]\Large x^3-4x^2-16x+60=y[/tex]

[tex]\Large y^3-4y^2-16y+60=z[/tex]

[tex]\Large z^3-4z^2-16z+60=x[/tex]

[Charlatan]

Ved å bruke at [tex]a-b|P(a)-P(b)[/tex] for alle heltallspolynomer P og heltall a,b har vi følgende:

[tex]x-y|y-z, \ x-z|y-x, \ z-y|x-z[/tex]

Vi ser at dette medfører at [tex]|x-y|=|y-z|=|z-x|[/tex].

Litt triviell casework: hvis [tex]x-y=y-z[/tex], er [tex]x+z=2y[/tex]. Men da er [tex]|\frac{x-z}{2}|=|x-z|[/tex], altså er [tex]x=y=z[/tex]. Hvis derimot [tex]x-y=z-y[/tex], så er [tex]z=x[/tex], og dermed er [tex]x=y=z[/tex]. Altså er [tex]x=y=z[/tex] i alle tilfeller.

Vi løser [tex]x^3-3x^2-15x+60=x[/tex]:
Ser at [tex]x=3[/tex] er en løsning, faktoriserer og får:

[tex](x-3)(x-5)(x+4)=0[/tex]

Løsningene [tex](x,y,z)[/tex] er da [tex](3,3,3),(5,5,5)[/tex] og [tex](-4,-4,-4)[/tex]

[FredrikM]

Siden likningssystemet er helt symmetrisk i x,y,z - kan man ikke da med en gang konkludere med at x=y=z?

[mrcreosote]

På ingen måte. Prøv å løse systemet

xy=z
yz=x
zx=y.

[Janhaa]

Ved å bruke at [tex]a-b|P(a)-P(b)[/tex] for alle heltallspolynomer P og heltall a,b har vi følgende:
[tex]x-y|y-z, \ x-z|y-x, \ z-y|x-z[/tex]
Vi ser at dette medfører at [tex]|x-y|=|y-z|=|z-x|[/tex].
Litt triviell casework: hvis [tex]x-y=y-z[/tex], er [tex]x+z=2y[/tex]. Men da er [tex]|\frac{x-z}{2}|=|x-z|[/tex], altså er [tex]x=y=z[/tex]. Hvis derimot [tex]x-y=z-y[/tex], så er [tex]z=x[/tex], og dermed er [tex]x=y=z[/tex]. Altså er [tex]x=y=z[/tex] i alle tilfeller.
Vi løser [tex]x^3-3x^2-15x+60=x[/tex]:
Ser at [tex]x=3[/tex] er en løsning, faktoriserer og får:
[tex](x-3)(x-5)(x+4)=0[/tex]
Løsningene [tex](x,y,z)[/tex] er da [tex](3,3,3),(5,5,5)[/tex] og [tex](-4,-4,-4)[/tex]

Sjølsagt korrekt,...

dere med IMO erfaring etc har noen fine løsningsmetoder...

jeg løste den med traktormetoden...

[Charlatan]

Hva menes med traktormetoden?

[FredrikM]

På ingen måte. Prøv å løse systemet

xy=z
yz=x
zx=y.

Finner jo at x=y=z=1 er en løsning av dette systemet. Også x=y=z=0. Men du har jo rett: dreper noen løsninger i antakelsen. x=y=-z=1 er også en løsning.

[Janhaa]

Hva menes med traktormetoden?

var bare min retorikk mhp den gamle tungvinte måten...

[Gustav]

På ingen måte. Prøv å løse systemet

xy=z
yz=x
zx=y.

Finner jo at x=y=z=1 er en løsning av dette systemet. Også x=y=z=0. Men du har jo rett: dreper noen løsninger i antakelsen. x=y=-z=1 er også en løsning.

x=y=-z=1 er ikke en løsning av dette systemet.

x=y=-z=-1 er en løsning.

[FredrikM]

Var det jeg mente, da. (jeg lever virkelig opp til imaget som distré matematiker)