Tre primtall [tex]p,q,r[/tex] er slik at tverrsummen av produktet av tallene er 7 mer enn tverrsummen av summen av tallene. Dessuten er [tex]\frac{pqr}{p+q+r}<13[/tex].
Hva er [tex]p,q,r[/tex]?
Tre primtall
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
-
mrcreosote
- Guru
- Innlegg: 1995
- Registrert: 10/10-2006 20:58
Vi kan anta [tex]2\le p\le q\le r[/tex]. Da er [tex]p+q+r\le3r[/tex] så pq<39. Ulikheta kan omskrives til [tex](pq-13)r<13(p+q)[/tex], så la oss dele inn i tilfellene pq<13 og pq>13. (Vi kan ikke ha pq=13.)
Hvis pq<13, må vi ha (p,q)=(2,2),(2,3),(2,5) eller (3,3). Ulikheta gir ingen betingelser på r, så vi må til tverrsumbetingelsen. Dette ser rimelig vrient ut, for eksempel har 3*3*509=4581 tverrsum 18 mens 3+3+509=515 har tverrsum 11=18-7.
Hvis 13<pq<39 i tillegg til [tex]q\le r<\frac{13(p+q)}{pq-13}[/tex] har vi bare et endelig antall tilfeller å sjekke ut.
(p,q)=(2,7) gir r<117 som må sjekkes mot tverrsumbetingelsen.
(p,q)=(2,11) gir r=11,13,17 som ikke har løsninger.
(p,q)=(2,13) gir r=13 som ikke er ei løsning.
(p,q)=(2,17) og også (2,19),(3,11) gir ingen muligheter for r.
(p,q)=(3,5) gir r<48 som igjen må sjekkes.
(p,q)=(3,7) gir r=7,11,13 hvor r=13 er gyldig.
(p,q)=(5,5) gir r=5,7 som ikke har løsninger.
(p,q)=(5,7) gir r=7 som ikke er ei løsning.
Det som da gjenstår er å sjekke tverrsumbetingelsen i en del tilfeller, og jeg tviler vel i grunnen på at vi har et endelig antall løsninger for tilfellene hvor pq<13.
Hvis pq<13, må vi ha (p,q)=(2,2),(2,3),(2,5) eller (3,3). Ulikheta gir ingen betingelser på r, så vi må til tverrsumbetingelsen. Dette ser rimelig vrient ut, for eksempel har 3*3*509=4581 tverrsum 18 mens 3+3+509=515 har tverrsum 11=18-7.
Hvis 13<pq<39 i tillegg til [tex]q\le r<\frac{13(p+q)}{pq-13}[/tex] har vi bare et endelig antall tilfeller å sjekke ut.
(p,q)=(2,7) gir r<117 som må sjekkes mot tverrsumbetingelsen.
(p,q)=(2,11) gir r=11,13,17 som ikke har løsninger.
(p,q)=(2,13) gir r=13 som ikke er ei løsning.
(p,q)=(2,17) og også (2,19),(3,11) gir ingen muligheter for r.
(p,q)=(3,5) gir r<48 som igjen må sjekkes.
(p,q)=(3,7) gir r=7,11,13 hvor r=13 er gyldig.
(p,q)=(5,5) gir r=5,7 som ikke har løsninger.
(p,q)=(5,7) gir r=7 som ikke er ei løsning.
Det som da gjenstår er å sjekke tverrsumbetingelsen i en del tilfeller, og jeg tviler vel i grunnen på at vi har et endelig antall løsninger for tilfellene hvor pq<13.
3,7,13 eneste løsning jeg vet om. Finnes flere, tro?
-
mrcreosote
- Guru
- Innlegg: 1995
- Registrert: 10/10-2006 20:58
Som sagt, blant annet (3,3,509). Ser man på (3,3,r) hvor r er et av de 10000 første primtalla, er det 688 tilfeller hvor tverrsummen til 9r er 7 mer enn tverrsummen til 6+r.espen180 skrev:3,7,13 eneste løsning jeg vet om. Finnes flere, tro?