VGS oppgave III

[Janhaa]

Løs likninga:

[tex]\sqrt{\frac{x+1}{x-1}}\,-\,\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}=\frac{4}{x+1}[/tex]

der x er et reelt tall

[Nebuchadnezzar]

[tex] \sqrt {\frac{{x + 1}}{{x - 1}}} - \sqrt {\frac{{x - 1}}{{x + 1}}} = \frac{4}{{x + 1}} [/tex]

[tex] \frac{{\sqrt {x + 1} }}{{\sqrt {x - 1} }} - \frac{{\sqrt {x + 1} }}{{\sqrt {x + 1} }} = \frac{4}{{x + 1}} [/tex]

Finner fellesvenver på høyre side og trekker sammen

[tex] \frac{{\sqrt {x + 1} \cdot \sqrt {x + 1} - \sqrt {x - 1} \cdot \sqrt {x - 1} }}{{\sqrt {x - 1} \cdot \sqrt {x + 1} }} = \frac{4}{{x + 1}} [/tex]

[tex] \frac{{\sqrt {{{\left( {x + 1} \right)}^2}} - \sqrt {{{\left( {x - 1} \right)}^2}} }}{{\sqrt {x - 1} \cdot \sqrt {x - 1} }} = \frac{4}{{x + 1}} [/tex]

[tex] \frac{{\left( {x + 1} \right) - \left( {x - 1} \right)}}{{\sqrt {\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)} }} = \frac{4}{{x + 1}} [/tex]

[tex] \frac{2}{{\sqrt {\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)} }} = \frac{4}{{x + 1}} [/tex]

Kryss multipliserer

[tex] 2\left( {x + 1} \right) = 4\sqrt {\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}[/tex]

[tex] 2x + 2 = 4\sqrt {\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)} [/tex]

[tex] {\left( {2x + 2} \right)^2} = {4^2}{\sqrt {\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)} ^2} [/tex]

[tex] 4{x^2} + 8x + 4 = 16\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right) [/tex]

[tex] 4{x^2} + 8x + 4 = 16{x^2} - 16 [/tex]

[tex] 12{x^2} - 8x - 20 = 0 [/tex]

Bruker andregradsformelen

[tex] \frac{{ - \left( { - 8} \right) \pm \sqrt {{{\left( { - 8} \right)}^2} - 4\left( {12} \right)\left( { - 20} \right)} }}{{2\left( {12} \right)}} [/tex]

[tex] \frac{{8 \pm \sqrt {64 + 960} }}{{24}} [/tex]

[tex] \frac{{8 + 32}}{{24}} \vee \frac{{8 - 32}}{{24}} [/tex]

[tex] \frac{{40}}{{24}} \vee \frac{{ - 24}}{{24}} [/tex]

[tex] \frac{5}{3} \vee - 1 [/tex]

Ser at brøken er udefinert når x = -1

[tex]\underline{\underline{ \frac{5}{3}}} [/tex]

Holder dette vann ?

[SILK]

[tex]\frac{40}{24}=\frac{5}{3}[/tex] ikke [tex]\frac{3}{5}[/tex]

[Janhaa]

Jada, riktig dette, etter ørliten korrigering.

(Kan dog gjøres enklere).

[Nebuchadnezzar]

Takk for forklaringen. Er lette måten noe alla dette ?
Kan dessverre ikke noen trig identiteter eller subsitusjon, så har ikke så maneg verktøy å jobbe med...

Hopper bukk og sten over noen stygge mellomregninger


[tex] \sqrt {\frac{{x + 1}}{{x - 1}}} - \sqrt {\frac{{x - 1}}{{x + 1}}} = \frac{4}{{x + 1}} [/tex]

[tex] {\left( {\sqrt {\frac{{x + 1}}{{x - 1}}} - \sqrt {\frac{{x - 1}}{{x + 1}}} } \right)^2} = {\left( {\frac{4}{{x + 1}}} \right)^2} [/tex]

Andre kvadratsetning og intens faktorisering gir.

[tex]\frac{4}{{{x^2} - 1}} = \frac{{16}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} [/tex]

[tex] 4{\left( {x + 1} \right)^2} = 16\left( {{x^2} - 1} \right) [/tex]

[tex] - 12{x^2} + 8x + 20 = 0 [/tex]

[tex] \left( {x + 1} \right)\left( {3x - 5} \right) [/tex]

[tex] x = - 1 \vee x = \frac{5}{3} [/tex]

[tex] x = \frac{5}{3} [/tex]

[Janhaa]

Litt lettere kanskje hvis du setter a = [symbol:rot](x+1)
b = [symbol:rot](x-1)

slik at

[tex]{a\over b} - {b\over a}={4\over a^2}[/tex]

som gir

[tex]{{a^2-b^2}\over {ab}} ={4\over a^2}[/tex]

der:[tex]\,\,{{a^2-b^2}=(x+1)\,-\,(x-1)=2,\,\,[/tex]slik at

[tex]{2\over {ab}} ={4\over a^2}\,\,\Right \,\,a=2b[/tex]

altså

[tex]\sqrt{x+1}=2\sqrt{x-1}\,\,\Right \,\,x+1=4(x-1)[/tex]

[tex]x={5\over 3}[/tex]