Aritmetikk

[Gustav]

Summen av en rekke påfølgende positive heltall er 1000. Finn disse heltallene.

[espen180]

Tenker det må være et odde antall tall. Tenker rekken blir på formen

[tex]1000 = \sum_{i=1}^{n} \frac{1000}{n}-\lfloor\frac{n}{2}\rfloor+(i-1)[/tex] der [tex]n[/tex] er en faktor i 1000.

Utprøving av multige tall gir

[tex]198+199+200+201+202=1000[/tex]

[Vektormannen]

Her er det to mulige rekker.

Vi kaller første ledd i mulige rekker for n. Da har vi en tenkt rekke [tex]n + (n+1) + (n+2) ... = 1000[/tex]. Hvis vi kaller antall ledd i rekkene for k, har vi da en rekke [tex]n + (n+1) + (n+2) + ... + (n + \frac{(k-1)k}{2}) = kn + \frac{(k-1)k}{2}[/tex]

[tex]kn + \frac{(k-1)k}{2} = 1000[/tex]

[tex]n = \frac{1000}{k} - \frac{k-1}{2}[/tex]

Vi merker oss to ting: antall ledd må være faktor i 1000 og i tillegg må antall ledd være et oddetall -- ellers blir ikke leddene heltallige. [EDIT: selvfølgelig kan antall ledd være et partall, så lenge partallet ikke går opp i 1000. Derav den ekstra løsningen i posten nedenfor, der k er 16.]

Faktoriserer 1000:

[tex]1000 = 5^3 \cdot 2^3[/tex]

Resonnementet ovenfor gir dermed tre mulige rekker -- de tre kombinasjonene av 5-faktorene.

Vi står altså igjen med tre, til nå, mulige rekker -- en med 5 ledd, en med 25 ledd og en med 125 ledd. Den med 5 ledd vil ha første ledd lik [tex]n = \frac{1000}{5} - \frac{4}{2} = 198[/tex] og den med 25 ledd vil ha første ledd lik [tex]n = \frac{1000}{25} - \frac{24}{2} = 28[/tex]. Men den med 125 ledd vil ha første ledd lik [tex]n = \frac{1000}{125} - \frac{124}{2} = -54[/tex]. Denne rekka er altså ikke gyldig.

Vi står dermed igjen med rekkene [tex]\sum_{n = 198}^{202} n[/tex] og [tex]\sum_{n=28}^{52} n[/tex].

[Charlatan]

Altså:

[tex]1000=N+(N-1)+...+(n+1)=\frac{N(N+1)}{2}-\frac{n(n+1)}{2}=\frac{(N-n)(N+n+1)}{2} \Leftrightarrow 2^4\cdot 5^3=(N-n)(N+n+1)[/tex].

Faktorene på høyre side er henholdsvis et partall og oddetall. Det betyr at [tex]2^4[/tex] må være en faktor i enten [tex]N+n+1[/tex], eller [tex]N-n[/tex]. Siden [tex]N+n+1[/tex] er størst, har vi følgende muligheter:
[tex]N+n+1=5^3, \ N-n=2^4 \\ N+n+1=2^4 \cdot 5, \ N-n=5^2 \\ N+n+1= 2^4 \cdot 5^2, \ N-n=5 \\ N+n+1=2^4 \cdot 5^3, \ N-n=1[/tex]

Dette gir følgende par:
[tex](N,n)=(70,54),(202,197),(52,27),(1000,999)[/tex]

Hvert av disse parene definerer en rekke påfølgende heltall fra [tex]n+1[/tex] til [tex]N[/tex] hvis sum er [tex]1000[/tex].

EDIT: Hehe, tydeligvis voldsom interesse for denne oppgaven.

[Vektormannen]

Antallet rekker øker for hver post :p

[espen180]

Minner litt om oppgavetypene man finner i Abelkonkurransen, egentlig.

Skjønt, da ville vel summen vært 2009 eller noe...

[Gustav]

Her er det nok Charlatan som har trukket det lengste stået, dvs. funnet samtlige korrekte løsninger.

Oppgaven er for øvrig fra en eller annen russisk mattekonkurranse:)

[Lord X]

[tex]n + (n+1) + (n+2) + \cdots + (n+m-1)[/tex] =

[tex]mn[/tex] + [tex] \frac{m(m-1)}{2}[/tex] =

[tex]m(n + \frac{m-1}{2} )[/tex] = 1000

[tex]m(2n+m+1) = 2000 = 2^{4}5^{3}[/tex]

Ser på ulike faktoriseringer av 2000 og ser at med m=5 får vi:

[tex]2n+5-1=400 [/tex] dvs. n=198

e.g.

[tex]198+199+200+201+202=1000[/tex]

[Lord X]

[tex]n + (n+1) + (n+2) + \cdots + (n+m-1)[/tex] =

[tex]mn[/tex] + [tex] \frac{m(m-1)}{2}[/tex] =

[tex]m(n + \frac{m-1}{2} )[/tex] = 1000

[tex]m(2n+m+1) = 2000 = 2^{4}5^{3}[/tex]

Ser på ulike faktoriseringer av 2000 og ser at med m=5 får vi:

[tex]2n+5-1=400 [/tex] dvs. n=198

e.g.

[tex]198+199+200+201+202=1000[/tex]