Trekanter og sannsynlighet

[espen180]

La en spiss trekant være definert ved at alle vinklene i trekanten er mindre enn 90 grader.
La en stump trekant være definert ved at en av vinklene er større enn 90 grader.

Hva er sannsynligheten for at en tilfeldig valgt trekant er spiss?

Hint:

Ta utgangspunkt i tilfeldig valgte vinkler

[Gustav]

[tex]\frac{1}{180}\cdot\int_0^{90} \frac{x}{180-x}\,dx=\ln(2)-0.5\approx 0.193[/tex]

[mrcreosote]

Hva menes med en tilfeldig valgt trekant?

[Emilga]

At hvis [tex]\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ[/tex], hva er sannsynligheten for at både [tex]\alpha[/tex], [tex]\beta[/tex] og [tex]\gamma[/tex] er [tex]\leq90^\circ[/tex]?

[mrcreosote]

Den er 0, antar du mener minst 1 av abc. Det besvarer uansett et annet spørsmål enn det jeg stiller.

[Emilga]

En 60-60-60-trekant oppfyller kravet som espen180 stiller, så sannsyligheten er større enn 0.

[mrcreosote]

Ser du har endra på det nå, sannsynligheten for det som står der nå er ikke 0. Argumentet ditt holder allikevel ikke, sannsynligheten trenger ikke være større enn 0 sjøl om vi finner et enkelttilfelle som tilfredsstiller kravet. For eksempel er sannsynligheten for at en tilfeldig trekant (i en eller annen forstand) er likesida 0 sjøl om vi faktisk kan trekke 60-60-60-trekanten. Enda grovere: Trekk et tilfeldig reelt tall. Sannsynligheten for at dette er rasjonalt er også 0 sjøl om det fins uendelig mange rasjonale tall.

Spørsmålet mitt er hva en tilfeldig trekant er. Velger man vinkler, velger man koordinater, eller hva gjør man?

[Gustav]

Lar trekanten ha vinklene a,b,c og antar at vinkel a velges først fra intervallet (0,180)
med uniform fordeling [tex]f(x)=\frac{1}{180}[/tex]. Gitt en vinkel a vil vinkel b ha en uniform fordeling [tex]\frac{1}{180-a}[/tex] på intevallet (0,180-a).


Det var ihvertfall slik jeg tolket oppgaven

[Emilga]

Beklager, jeg burde holdt fornuften min ut av dette. Av hintet ser vi at vi skal ta utgangspunkt i vinklene.

Trekk opp et rettvinklet koordinatsystem, der de tre aksene er vinklene i trekanten. [tex]0 < x < 90[/tex], [tex]0 < y < 90[/tex], [tex]0 < z < 90[/tex] og akseplanene definerer en kube. [tex]x + y + z = 180[/tex] definerer et plan som skjærer kuben. Den delen av planet som er innenfor kuben er mengden spisse trekanter. Arealet av dette dividert på arealet av planet som har alle koordinatene >0 er lik sannsynligheten for at en tilfeldig trekant er spiss.

Dette blir for mye nitidig småregning på formiddagen til at jeg gidder å finne tallsvaret.

[Emilga]

Spørsmålet mitt er hva en tilfeldig trekant er. Velger man vinkler, velger man koordinater, eller hva gjør man?

Vil vi ikke få samme svar, gitt at det vi velger gjør at vi kan lage alle mulige trekanter?

[Karl_Erik]

Vil vi ikke få samme svar, gitt at det vi velger gjør at vi kan lage alle mulige trekanter?

Det tror jeg man skal være forsiktig med å spekulere i. Generelt tror jeg det er veldig lett å lage tvetydige sannsynlighetsoppgaver. For å bruke et annet eksempel kan vi jo ta den klassiske oppgaven om korder i sirkler. "Hva er sjansen for at en tilfeldig valgt korde i en sirkel er lenger enn siden til en likesidet trekant innskrevet i samme sirkel?"

Svaret kommer an på hvordan korden velges. Om du tenker på det som å tegne en sirkel på et ark og så rulle en blyant over sirkelen slik at den stopper på et tilfeldig sted, for så å anse den delen av blyanten som er inne i sirkelen som en korde får du et svar, mens om du heller tenker på det som å velge to vinkler [tex]\theta, \gamma[/tex] tilfeldig for så å trekke korden AB der [tex]A=\cos\theta, \sin\theta[/tex] og [tex]B=\cos\gamma, \sin\gamma[/tex] i enhetssirkelen blir svaret ditt noe annet. Spørsmålet er altså tvetydig, og kan ikke besvares før 'tilfeldig valgt korde' defineres presist. Derfor lønner det seg å være veldig presis når man skriver sannsynlighetsoppgaver.

[Emilga]

Nice.

[espen180]

I denne oppgaven blir sannsynligheten den samme enten man velger tre tilfeldige punkter i planet (tre punkter definerer et plan, så velge i rommet er bare overkill) eller om man tar utgangspunkt i tilfeldige vinkler.

Skjønt fremgangsmåten med vinkler er penere.

Om vi derimot begynner å velge punkter på en sirkel, kvadrat, n-gon, får vi tvetydelige resultater, så dropp slike fremgangsmåter.

[Charlatan]

Hva er sannsynligheten for at en tilfeldig oppgave er tvetydig?

[Nebuchadnezzar]

Jeg syntes den oppgaven din var ganske tvetydig, hva mener du egentlig med en tilfeldig valgt oppgave.

Mener du her på forumet, på verdens veven eller en hvilken som helst oppgave i hele verden.

Hvordan oppgavene skulle bli valgt på ville også ha en innvirkning på hvor mange tvetydige oppgaver man får

Eventuelt kunne man sjekke med tidligere igtte eksamener og se på der de har fått flest forskjellige svar.

Og hva er egentlig en tvetydig oppgave, alle oppgaver gir jo tolkningsmuligheter enn så snever