I oppgavene under, la [tex]x\in X\,,\, y\in Y\,,\, z\in Z\,,\, w\in W[/tex]
1) Vis at det ikke finnes noen kontinuerlig funksjon [tex]f:(X,Y)\leftrightarrow Z[/tex], dvs at for hvert par [tex](x,y)[/tex] finnes kun én [tex]z[/tex] og at for hver [tex]z[/tex] finnes kun ett par [tex](x,y)[/tex].
2) For hvilke vilkår finnes det en kontinuerlig funksjon [tex]f:(X,Y)\leftrightarrow (Z,W)[/tex]? Dvs, for hvert par [tex](x,y)[/tex] finnes kun ett par [tex](z,w)[/tex] og for hvert par [tex](z,w)[/tex] finnes kun ett par [tex](x,y)[/tex].
Bijeksjoner
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
1)
Hvis f.eks. X=Y=Z=[0,1] og [tex]f:X\times Y\to Z [/tex] er kontinuerlig kan vi se på to parametriseringer mellom koordinatene (0,0) og (1,1) gitt ved [tex]r(t)=(t,t)[/tex] og [tex]q(t)=(t,t^2)[/tex] for t-verdier mellom 0 og 1.
Vi kan anta at [tex]f(0,0)\neq f(1,1)[/tex] dersom f er injektiv.
Legg merke til at r(0)=q(0) og r(1)=q(1) mens [tex]r(t) \neq q(t)[/tex] for [tex]t\in (0,1)[/tex].
Siden f er kontinuerlig på [tex]X\times Y[/tex] er restriksjonene av f på de kontinuerlige banene r(t) og q(t) kontinuerlige (det følger av at det er en komposisjon av kontinuerlige funksjoner; f(r(t)) og f(q(t)). Da gir skjæringssetningen at det fins en t og [tex]t^\prime[/tex] slik at [tex]f(r(t))=f(q(t^\prime))=\frac{f(1,1)-f(0,0)}{2}[/tex] der [tex]t,t^\prime \in (0,1)[/tex]. Siden banene aldri krysser utenom på randen, kan ikke f være injektiv.
Tror dette skal holde formelt sett... selv om det muligens kan gjøres enklere
Hvis f.eks. X=Y=Z=[0,1] og [tex]f:X\times Y\to Z [/tex] er kontinuerlig kan vi se på to parametriseringer mellom koordinatene (0,0) og (1,1) gitt ved [tex]r(t)=(t,t)[/tex] og [tex]q(t)=(t,t^2)[/tex] for t-verdier mellom 0 og 1.
Vi kan anta at [tex]f(0,0)\neq f(1,1)[/tex] dersom f er injektiv.
Legg merke til at r(0)=q(0) og r(1)=q(1) mens [tex]r(t) \neq q(t)[/tex] for [tex]t\in (0,1)[/tex].
Siden f er kontinuerlig på [tex]X\times Y[/tex] er restriksjonene av f på de kontinuerlige banene r(t) og q(t) kontinuerlige (det følger av at det er en komposisjon av kontinuerlige funksjoner; f(r(t)) og f(q(t)). Da gir skjæringssetningen at det fins en t og [tex]t^\prime[/tex] slik at [tex]f(r(t))=f(q(t^\prime))=\frac{f(1,1)-f(0,0)}{2}[/tex] der [tex]t,t^\prime \in (0,1)[/tex]. Siden banene aldri krysser utenom på randen, kan ikke f være injektiv.
Tror dette skal holde formelt sett... selv om det muligens kan gjøres enklere
Jeg skjønner resonnementet ditt, men hadde vanskelig for å forstå noen deler av argumentasjonen bak det.
Om jeg har forstått deg rett, sier at at siden forskjellige par (x,y) kan gi samme z, kan ikke funksjonen være injektiv, og dermed heller ikke være en bijeksjon. Stemmer det?
Om jeg har forstått deg rett, sier at at siden forskjellige par (x,y) kan gi samme z, kan ikke funksjonen være injektiv, og dermed heller ikke være en bijeksjon. Stemmer det?
Poenget er å utlede en motsigelse ut fra antagelsen om at f både er injektiv og kontinuerlig. Da bruker jeg to kontinuerlige parametriserte baner mellom to punktet i domenen, som aldri krysser hverandre. Da vil restriksjonene av f på disse to parametriseringene være kontinuerlige funksjoner av parametrene, slik at skjæringssetningen gir at hver av de to sammensetningene må krysse middelverdien mellom funksjonsverdiene i de to punktene i to ulike punkter i domenen. Derfor er f umulig injektiv.