matematikk.net

Er en surjektiv og monoton funksjon [tex]f \ : \ \mathbb{R} \to \mathbb{R}[/tex] kontinuerlig?

En monoton funksjon kan bare ha såkalte "jump discontinuities" (i mangel av norsk vokabular - Wikipedia: http://en.wikipedia.org/wiki/Monotonic_function). Dette er en diskontinuitet hvor grensene [tex]L^+[/tex] og [tex]L^-[/tex] eksisterer, men er ulike. (for å bevise dette, kan man se på de forskjellige typene kontinuitet og fastslå i hvert av tilfellene at ingen av dem bortsett fra dette kan skje for en monoton funksjon - utelater beviset fordi jeg ikke klarte de tekniske detaljene - det er ihvertfall fakta iflg Wikipedia )

Anta nå at funksjonen har en slik "jump discontinuity". Da vil vi ha en situasjon som i dette bildet: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/c ... mp.eps.png bare at funksjonen også skal være monoton. Men siden funksjonen er monoton, kan den ikke "fange" tallene som ble utelatt i hoppet, og den kan derfor ikke være surjektiv. Konklusjonen må derfor være at en funksjon som er monoton og surjektiv også er kontinuerlig.

Å bevise dette veldig formelt ble litt vanskelig for meg.