matematikk.net

La [tex]\mathbb{P}[/tex] være mengden med alle primtall og la [tex]p,q\in\mathbb{P}[/tex] og la [tex]p\geq q[/tex]. Finn alle par [tex](p,q)[/tex] slik at både [tex]2^p+3^q[/tex] og [tex]2^q+3^p[/tex] er primtall samtidig.

Regner med at det fins en fasit på denne...? Ser ikke ut til at moduloregning resulterer i noe fornuftig i denne oppgave...

Jeg har

(2,2) , (2,3) , (3,5) , (3,13)

Kan hende det finnes flere.

Det interessante er imidlertid beviset for at det eventuelt ikke finnes flere.

Espen: med fasit mente jeg beviset som Charlatan nevnte.


Problemet er vel (slik jeg ser det) at det ikke er tilstrekkelig å se på uttrykkene modulo små primtall. F.eks. er 2^17+3^47 primtall mens 2^47+3^17 har 3371 som minste primfaktor...

Henger meg på siste talere, uten noe mer er det ikke så interessant. 3371-eksemplet får meg til å tvile på at det fins noe tilgjengelig bevis for at det ikke er flere primpar.

Et lite resultat: Hvis p=2, er 2^p+3^q kun prim hvis q er 2 eller 3. Alle andre primtall kan skrives på formen 6k [symbol:plussminus] 1, men modulo 7 er [tex]4+3^{6k+1}=0[/tex] og modulo 13 er [tex]4+3^{6k-1}=0[/tex].