matematikk.net

Fins det en permutasjon p av {1,2,...} slik at [tex]\sum_{n=1}^\infty\frac{p(n)}{n^2}[/tex] konvergerer?

Av rearrangementteoremet er

[tex]\sum^k_{n=1} \frac{p(n)}{n^2} \geq \sum^k_{n=1} \frac{k+1-n}{n^2}>\sum^k_{n=1} \frac{k}{n^2}-\frac{1}{n} \geq k-\sum^k_{n=1} \frac{1}{n}=\sum^k_{n=1} \frac{n-1}{n}[/tex]

for enhver [tex]k[/tex] og [tex]p(n)[/tex].

[tex]\sum^k_{n=1} \frac{p(n)}{n^2} > \sum^k_{n=1} \frac{n-1}{n} \Rightarrow \sum^{\infty}_{n=1} \frac{p(n)}{n^2}=\lim_{k \to \infty} \sum^k_{n=1} \frac{p(n)}{n^2} > \lim_{k \to \infty} \sum^k_{n=1} \frac{n-1}{n}=\infty[/tex]

Summen kan altså ikke konvergere for noen [tex]p(n)[/tex].

Oppfølger:

La [tex]P_1,P_2,...,P_n[/tex] være partisjoner av [tex]\{ 1,2,...,2n \}[/tex] hvor [tex]P_i[/tex] har to elementer. La [tex]p_i[/tex] betegne produktene av elementene i [tex]P_i[/tex].

Vis at [tex]\sum^{n}_{k=1} \frac{1}{p_k} \ < \ 1[/tex]

Må vise at [tex]\sum_{k=1}^n \frac{(2n)!}{p_k}<(2n)![/tex]

Summen av to vilkårlige ledd i summen til venstre er på formen
[tex]\frac{(2n)!}{abcd}(ab+cd)[/tex] der f.eks. ab og cd er produktene til elementene i to partisjoner.

Dette uttrykket er størst dersom, for [tex]a<c [/tex], [tex]b<d[/tex] ifølge Rearrangement ulikheta. Hvis b>d kan vi bytte de om. Fortsetter vi denne prosessen med å plukke ut to og to ledd og ordne om, vil vi til slutt få en øvre grense for venstresida som er gitt ved

[tex]\frac{(2n)!}{1*2}+\frac{(2n)!}{3*4}+...=(2n)!\sum_{k=1}^n{\frac{1}{(2k-1)(2k)}<(2n)![/tex]

En oppfølger til den første: Kan summen divergere om vi erstatter eksponenten 2 med 3?

Vi ser på [tex]\sum^k_{n=1}\frac{p(n)}{n^3}[/tex] hvor [tex]p(n)[/tex] er en permutasjon av [tex]\{ 1,2,...,k \}[/tex]. Setter vi [tex]p(n)=n[/tex], får vi at summen blir

[tex]\sum^{k}_{n=1} \frac{1}{n^2}<1+\int^k_1 \frac{1}{x^2} \rm{d}x=2-\frac{1}{k} \Rightarrow \sum^{\infty}_{n=1} \frac{p(n)}{n^3}=\sum^{\infty}_{n=1} \frac{1}{n^2} < \lim_{k \to \infty} \sum^{k}_{n=1} \frac{1}{n^2}<\lim_{k \to \infty} 2-\frac{1}{k}=2[/tex]

Burde kanskje ha presisert at [tex]p(n)[/tex] er en permutasjon av [tex]\{ 1,2,...,k \}[/tex] i den forrige løsningen og...

Joda, men spørsmålet var om summen kan divergere for noen permutasjon p.

Åh, leste feil.

Nå innså jeg at svaret på første spørsmål også er feil. Det er [tex]p(n) = n[/tex] som minimerer summen. Velger vi [tex]p(n) = n[/tex] får vi åpenbart at summen divergerer.