matematikk.net

Litt lettere enn vanskelig: Finnes det et positivt heltall [tex]n[/tex] slik at [tex]sqrt{n-1} + sqrt {n+1}[/tex] er et rasjonalt tall?

Litt vanskeligere enn lett: Finnes det et polynom med heltallskoeffisienter slik at likningene [tex]p(x)=1[/tex] og [tex]p(x)=3[/tex] begge har heltallsløsninger og slik at likningen [tex]p(x)=2[/tex] har to forskjellige heltallsløsninger?

Anta at en slik [tex]n[/tex] finnes.

1) [tex]\sqrt{n+1} + \sqrt{n-1} = \frac{2}{\sqrt{n+1} - \sqrt{n-1}}[/tex]

Her er venstresiden og dermed nevneren på høyre side rasjonale i så fall.

Da er både summen og differansen mellom dem også rasjonale.

Altså er [tex]\sqrt{n+1}[/tex] og [tex]\sqrt{n-1}[/tex] begge rasjonale. Da er [tex]n=a^2+1=b^2-1[/tex] for to heltall [tex]a[/tex] og [tex]b[/tex]. Men det betyr at [tex]a^2-b^2=2[/tex] som er umulig hvis vi ser på ligningen modulo 4.

2) La [tex]a, b, c[/tex] og [tex]d[/tex] være heltallene slik at [tex]p(a)=1, p(b)=3, p(c)=p(d)=2[/tex].
Ved å bruke at [tex]x-y | q(x)-q(y)[/tex] dersom [tex]x,y[/tex] er heltall, og q er et heltallspolynom, får vi at:

[tex]c-a | 1[/tex]
[tex]d-a | 1[/tex]
[tex]b-c | 1[/tex]
[tex]b-d | 1[/tex]

Anta uten tap av generalitet at [tex]b-c=1[/tex], og [tex]b-d=-1[/tex], eller [tex]b=c+1=d-1[/tex].
Men siden a og b er forskjellige, må [tex]a=c-1=d+1[/tex]. Dette er åpenbart en motsigelse.

Oppfølger:

Hvis [tex]ab=cd[/tex], så er [tex]a^2+b^2+c^2+d^2[/tex] et sammensatt tall.