matematikk.net

La [tex]f^{(n)}(x)[/tex] være den n´te-deriverte av [tex]f(x)=\frac{1}{x^2+1}[/tex].

Finn [tex]f^{(n)}(1)[/tex].

jeg har aldeles ikke løst den, men f(x) kan vel skrives slik;

[tex]\Large\frac{1}{1+x^2}=1-x^2+x^4-x^6+x^8-\,\,...\,\,+(-1)^n\cdot x^{2n}[/tex]

hvis det hjelper noen?

Vel, den rekken stemmer nok ikke for [tex]|x| \geq 1[/tex].

[tex]f(x)= \frac 1 {x^2+1} = \frac i 2 (\frac 1 {x+i} - \frac 1 {x-i})[/tex]
EDIT: Dette ble bare rot - se bort i fra denne.

Jeg tror du nesten var i mål der altså.

Der. Nå ble det plutselig fornuftig igjen. [tex]f^{(n)}(1) = \frac i 2 \cdot (-1)^n \cdot n! \( \frac {(1-i)^{n+1} - (1+i)^{n+1}} {2^{n+1}} \) [/tex]. La [tex]z=1-i[/tex], og den konjugerte [tex]z^*=1+i[/tex]. Vi har da [tex]f^{(n)}(1) = \frac i 2 \cdot (-1)^n \cdot n! \( \frac {z^{n+1} - (z^*)^{n+1}} {2^{n+1}} \) = \frac i 2 \cdot (-1)^n \cdot n! \( \frac {(z-z*)(z^n + z^{n-1} z^* + ... + (z^*)^n) } {2^{n+1}} \) = \frac i 2 \cdot (-1)^n \cdot n! \( \frac {\(-2i\)\(\sum _{k=0} ^n z^{n-k}(z^*) ^k \) } {2^{n+1}} \) = [/tex]

[tex] (-1)^n \cdot n! \( \frac {\(\sum _{k=0} ^n z^{n-2k}|z| ^2k \) } {2^{n+1}} \) = \frac {(-1)^n \cdot n!} {2^{n+1}} \( {\(\sum _{k=0} ^n (1-i)^{n-2k} \cdot 2^k \) \)[/tex]

Jepp, ser riktig ut dette.

Men om du ser at [tex]e^{ix}-e^{-ix}=2i\sin x[/tex], får vi et enklere uttrykk:

[tex]f_n(1)=\frac{n!(-1)^n}{\sqrt{2}^{n+1}}\sin((n+1)\frac{\pi}{4})[/tex]

Vi har forresten at

[tex]f_n(x)=\frac{n!(-1)^n}{\sqrt{x^2+1}^{n+1}}\sin(\text{arctan}(x)(n+1))[/tex]

Aah, ja. Selvfølgelig. Jeg holdt på å føre lange, lange mellomregninger, men å gjøre det på den måten er jo åpenbart mye enklere. Takk.

Oppfølger:

Finn den n`te integrerte [tex]g_n(x)[/tex] av [tex]g(x)=\frac{1}{x^2+1}[/tex].
Dvs:

[tex]g_n(x)=\int_n \frac{1}{x^2+1} \rm{d}x[/tex]