matematikk.net

Gitt et plan [tex]\Pi:ax+by+cz=d[/tex] og en vektor [tex]\vec{v}=[x_0,y_0,z_0][/tex].

Er det følgende utsagnet sant eller usant? Begrunn svaret.

[tex]ax_0+by_0+cz_0=0 \Leftrightarrow \vec{v}||\Pi[/tex]

Vet ikke helt om dette fører fram, men noen tanker:

La forresten [tex]a=(a,b,c)[/tex], x=(x,y,z), og [tex]x_0=(x_0,z_0,y_0)[/tex]

Dermed er
[tex]ax_0+by_0+cz_0=0 \Leftrightarrow \vec{v}||\Pi[/tex]
ekvivalent med
[tex]a\cdot x_0=0 \Leftrightarrow x_0 || \Pi[/tex]

Som er det samme som

[tex]a \bot x_0 \Leftrightarrow x_0 || \Pi[/tex]

Men dette er igjen det samme som

[tex]a \bot \Pi[/tex]

Påstand: dette er riktig. Planet kan skrives slik:
[tex]a\cdot x=d[/tex]

Jeg påstår at a står vinkelrett på planet. La [tex]x_1,x_2 \in \Pi[/tex]. Da gjelder [tex]a\cdot x_1 = d[/tex] og [tex]a \cdot x_2 = d[/tex]. Trekker vi disse ligningene fra hverandre får vi [tex]a \cdot x_1 - a\cdot x_2 = a\cdot(x_1-x_2)=0[/tex]. Siden [tex]x_1-x_2[/tex] også er med i planet, følger det at a står vinkelrett på planet.

Og påstanden er riktig.

Det ser ut som det stemmer.

En alternativ måte er å forflytte planet slik at det går gjennom origo...

Hender jeg gjør ting mye mer avansert enn nødvendig. Men en step-by-step-prosedyre var for meg mye mer oversiktlig enn å få noe fornuftig ut av likningen i oppgaven. (så mye bokstaver!)

Løsningen din viste jeg faktisk en ny måte å tenke på plan på; som en vektorligning istedet for en koordinatligning.