matematikk.net

Anta at jorden er en perfekt sfære med et sfærisk hulrom av ukjent radius med samme sentrum som jorden. Anta videre at massetettheten forholder seg konstant over hele "skorpen".

Vi plasserer nå en liten kule på et tilfeldig sted i dette hulrommet. Hva skjer?

Advarsel. Person med tilnærmet null kunnskap i fysikk svarer.

Jeg tipper at kulen vil falle "oppover" til den treffer skorpen. Gravitasjon er jo at alle objekter med masse trekker på hverandre. Skorpen vil trekke på kulen og den vil falle mot skorpen der det er kortest avstand.

Men hvis hulrommet også er en perfekt sfære, kulen dukker opp midt i sentrum, massetettheten er konstant og all ekstern påvirkningkan ses bort fra tror jeg kulen blir stasjonær i sentrum siden trekkraften er helt lik i alle retninger.

Det var mitt forsøk.

Kanskje ikke det mest intuitive, men kulen ville falt mot sentrum, til tross for at det ikke er noe der. Den vektorielle summen av alle vektorene som trekker kulen mot sfærens overflate vil ha retning mot sentrum av sfæren. Dermed har det ingenting å si hvor massen er konsentrert, men hvor massens sentrum er.

Kulen vil akselere konstant til sentrum og deretter svinge fram og tilbake om likevektsstillingen ved sentrum til den faller til ro.

bartleif skrev:Kanskje ikke det mest intuitive, men kulen ville falt mot sentrum, til tross for at det ikke er noe der. Den vektorielle summen av alle vektorene som trekker kulen mot sfærens overflate vil ha retning mot sentrum av sfæren. Dermed har det ingenting å si hvor massen er konsentrert, men hvor massens sentrum er.

Kulen vil akselere konstant til sentrum og deretter svinge fram og tilbake om likevektsstillingen ved sentrum til den faller til ro.

Ah, ja, selvsagt. Tok det litt vel kjapt.

Her er mitt forsøk:

Forskere har i lange tider sammenlignet gravitasjon med elektrisitet, til den grad at det er verifisert gravitomagnetiske fenomener. Det har vist deg at Maxwells fire feltligninger for elektromagnetisme også gjelder for gravitasjon og gravitomagnetisme. Nedenfor tar jeg dette i bruk.

La [tex]\vec{G}[/tex] være gravitasjonsfeltet og [tex]\gamma[/tex] være den universelle gravitasjonskonstanten. [tex]m_i[/tex] er massen som befinner seg inne i den gaussiske flaten jeg spesifiserer nedenfor.

(1) [tex]\oint \vec{G}\cdot \vec{\text{d}A}=-4\pi \gamma m_i[/tex]

(Man kan faktisk utlede dette integralet fra gravitasjonskraften [tex]\vec{F_G}=\gamma\frac{m_1 m_2}{r^2}[/tex])

Vi lar vår gaussiske flate være en kuleflate med radius [tex]R[/tex]. Systemets symmetri tilsier at [tex]\vec{\text{d}A}||\vec{G}[/tex], så (1) blir

[tex]G\oint \vec{\text{d}A}=-4\pi \gamma m_i \\ G(4\pi R^2)=-4\pi \gamma m_i \\ G=-\gamma\frac{m_i}{R^2}[/tex]

La nå "Jorda"s indre radius og ytre radius være henholdsvis [tex]r_1[/tex] og [tex]r_2[/tex]. Merk at hvis [tex]R\leq r_1[/tex], er [tex]G=0[/tex], altså forårsaker ikke sfæren noe tyngdefelt på innsiden av sfæren.

Den lille kula inne i "Jorda" vil derfor ikke oppleve noen tyngdekraft fra sfæren den er innkapslet i.

espen180 skrev: Merk at hvis [tex]R\leq r_1[/tex], er [tex]G=0[/tex], altså forårsaker ikke sfæren noe tyngdefelt på innsiden av sfæren.

Den lille kula inne i "Jorda" vil derfor ikke oppleve noen tyngdekraft fra sfæren den er innkapslet i.

Kan ikke si jeg forstod noe særlig av argumentet hvis det var der. Hvorfor vil [tex]G=0[/tex] dersom [tex]R \leq r_1[/tex]?

Jeg trenger forsåvidt en rigorøs forklaring, og ingen "synsing" - uansett hvor intuitiv den måtte være

Det betyr ganske enkelt at summen av gravitasjonskreftene inne i hulrommet balanserer hverandre.

Gauss's lov for gravitasjonskraften er en fullstendig gyldig lov som er ekvivialent med Newtons generelle gravitasjonslov; [tex]F_g=\gamma\frac{m_1 m_2}{r^2}[/tex].

Les mer her: http://en.wikipedia.org/wiki/Gauss%27_law_for_gravity

I denne artikkelen blir loven blandt annet utledet fra Newtons gravitasjonslov.

EDIT:

Hvis R=<r1, vil det ikke være noe masse inne i den gaussiske kula, og derfor vil m_i=0, og da blir G=0

Det skulle vel være greit (men arbeidsomt) å integrere (med kulekoordinater) over alle kraftbidrag fra infinitesimale masseelementer på punktmassen i hulrommet for å finne resultantkraft som funksjon av avstanden til sentrum. Spørsmålet er jo om punktmassen trekkes radielt utover, innover eller om den ikke opplever noen kraft, og dette kan vel såvidt jeg ser ikke avgjøres med kvalitative argumenter siden det vil avhenge av hvordan kreftene avtar med avstand.

plutarco skrev:Det skulle vel være greit (men arbeidsomt) å integrere (med kulekoordinater) over alle kraftbidrag fra infinitesimale masseelementer på punktmassen i hulrommet for å finne resultantkraft som funksjon av avstanden til sentrum. Spørsmålet er jo om punktmassen trekkes radielt utover, innover eller om den ikke opplever noen kraft, og dette kan vel såvidt jeg ser ikke avgjøres med kvalitative argumenter siden det vil avhenge av hvordan kreftene avtar med avstand.

Jepp, tror du er inne på noe her.

Hvis du integrerer alle kraftbidrag vil du få [tex]\Sigma F=0[/tex] på innsiden av kuleskorpen.

Her er en tråd fra Physics Forum hvor dette har blitt diskutert: http://www.physicsforums.com/showthread.php?t=121120