matematikk.net

Løs likningen [tex]sin(80^\circ - \theta)=2 cos 40^\circ sin \theta[/tex], der [tex]\theta \in (0^\circ , 90^\circ)[/tex].

Er dette lov, mon tro?

[tex]\sin(80^o-x)=\sin(80^0)\cos(x)-\cos(80^o)\sin(x)=2\sin(x)\cos(40^o)[/tex]

deler på sin(x) og antar sin(x) [symbol:ikke_lik] 0

[tex]\sin(80^o)\cot(x)-\cos(80^o)=2\cos(40^o)[/tex]

[tex]\cot(x)=\frac{2\cos(40^o)+\cos(80^o)}{\sin(80^o)}=\sqrt3[/tex]

[tex]\tan(x)=\frac{1}{\sqrt3}[/tex]

[tex]x=30^o[/tex]

Det ser bra ut dette, men hvordan forenkler du [tex]\frac {2cos(40^\circ) + cos (80^\circ)} {sin(80^\circ)}[/tex] til [tex]\sqrt 3[/tex]?

da prøver jeg å vise nevnte uttrykk, og dropper vinkelen i grader gjennom hele prosedyren, dvs[tex]\,\,^o\,\,[/tex]tegnet.

[tex]\cot(x)=\frac{2\cos(40)+cos(80)}{\sin(80)}=\frac{2\cos(60-20) + \cos(60+20)}{\sin(60+20)}=\frac{2[\cos(60)\cos(20)+\sin(60)\sin(20)]\,+\,[\cos(60)\cos(20)-\sin(60)\sin(20)]}{\sin(60)\cos(20)+\cos(60)\sin(20)}[/tex]

[tex]\cot(x)=\frac{3\cos(60)cos(20) + \sin(60)\sin(20)}{{\sqrt{3}\over 2}\cos(20)+{1\over 2}\sin(20)}=\frac{3\cos(20)+\sqrt3 \sin(20)}{\sqrt3 \cos(20)+\sin(20)}=\frac{3+\sqrt3 \tan(20)}{\sqrt3 +\tan(20)}[/tex]

multipliserer så med den konjugerte av nevner'n, som gir:

[tex]\cot(x)=\frac{3\sqrt3-3\tan(20)+3\tan(20)-\sqrt3 \tan^2(20)}{3-\tan^2(20)}=\frac{\sqrt3\left(3-\tan^2(20)\right)}{3-\tan^2(20)}=\sqrt3[/tex]

Nå skjønner jeg. Løsningen din er selvfølgelig helt riktig.