matematikk.net

Finn alle [tex]T \ : \ \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m[/tex] slik at for alle [tex]x,y \in \mathbb{R}^n[/tex] og [tex]c \in \mathbb{R}[/tex], så er


[tex]T(x)+T(y)=T(x+y) \\ T(cx)=cT(x)[/tex]

Hint: Vis at T(x)=Ax for en mxn matrise A.

Blir vel T(x)=Ax der A er en konstant m x n matrise

EDIT: så ikke hintet først.

Jajaja, sikkert.

Det kan stemme det, plutarco. Det er da beviset jeg er ute etter.

Vi ser at gitt [tex]T(e_1), T(e_2), ... T(e_n)[/tex], dvs funksjonsverdiene av enhetsvektorene, er [tex]T(x)[/tex] entydig bestemt for alle vektorer [tex]x \in \mathbb{R}^n[/tex], da enhetsvektorene danner en basis for [tex]\mathbb{R}^n[/tex]. Men matrisen med [tex]T(e_1), T(e_2), ... T(e_n)[/tex] som søyler gir 'riktige' funksjonsverdier, og altså finnes det en matrise A slik at [tex]T(x)=Ax[/tex], som var det vi ville vise.

Veldig fint, kort og godt. En liten ting med mindre jeg misforstod: Matrisen definerer [tex]T(e_i)[/tex], så det finnes ikke bare en A, men alle A er gyldige.

Du har helt rett; det ble bare litt slurv fra min side. Det jeg mente å si var at om vi tok [tex]T(e_i)[/tex] som konstanter definerte de funksjonen (og matrisen [tex]A[/tex]) entydig. Motsatt gjelder mer eller mindre det samme, så det jeg burde ha presisert var at å velge en matrise A er ekvivalent med å velge konstantene [tex]T(e_i][/tex], der matrisen (eller konstantene, som jo blir søylene i matrisen) kan velges fritt.

Anta at [tex]T(x)+T(y)=T(x+y)[/tex] og at T er kontinuerlig i alle variablene. (Det vil si at hvis [tex]x=[x_1,..,x_n][/tex], så er alle koordinatene til [tex]T(x_1,..,x_n)[/tex] kontinuerlige for hver [tex]x_i[/tex] hvis de andre er konstante)

Hva kan du nå si om T?

Først viser vi at [tex]T(nx)=nT(x)[/tex] for naturlige [tex]n[/tex]. Vi ser [tex]T(2x)=T(x+x)=T(x)+T(x)=2T(x)[/tex]. Ved induksjon ([tex]T((k+1)x)=T(kx)+T(x)=kT(x)+T(x)=(k+1)T(x)[/tex]) får vi det vi ville.

Så ser vi at [tex]T(\frac 1 n y)=\frac 1 n T(y)[/tex] for naturlige [tex]n[/tex], følger lett ved å sette [tex]x=\frac y n[/tex] i resultatet vi nettopp viste.

Kombinerer vi disse to har vi altså at [tex]T(qx)=qT(x)[/tex] for positive, rasjonale [tex]q[/tex]. Ved å la [tex]q[/tex] gå mot null ser vi at høyresiden går mot null og venstresiden går mot [tex]T(0)[/tex]. Siden [tex]T[/tex] er kontinuerlig må da [tex]T(0)=0[/tex].

Da må vi også ha [tex]0=T(0)=T(x+(-x))=T(x)+T(-x)[/tex], så [tex]T(x)=-T(-x)[/tex], som kombinert med resultatet vi nylig viste betyr at [tex]T(qx)=qT(x)[/tex] for alle rasjonale [tex]q[/tex].

Siden T er kontinuerlig må dette da også gjelde for alle reelle q, så vi har at [tex]T(x)+T(y)=T(x+y)[/tex] og [tex]T(cx)=cT(x)[/tex] for alle reelle [tex]c[/tex], og ved oppgaven tråden begynte med er [tex]T(x)=Ax[/tex] der A er en matrise.