Side 1 av 1
Konvergens
Lagt inn: 16/08-2009 01:02
av Charlatan
(1): vis at følgen
[tex]a_{n+1}=a_{n}-\tan(a_{n})[/tex]
konvergerer til [tex]\pi[/tex] for enhver reell [tex]a_0[/tex] slik at [tex]2<a_0<2\pi-2[/tex].
(2): Vis også at hvis følgen konvergerer, så vil grenseverdien alltid være en multippel av [tex]\pi[/tex].
Lagt inn: 04/09-2009 04:52
av Gustav
La [tex]b_n=a_{2n}[/tex] og [tex]c_n=a_{2n+1}[/tex]
og [tex]2<b_0<\pi[/tex].
[tex]b_{n+1}=b_n-tan(b_n)-tan(b_n-tan(b_n))[/tex]
La [tex]f(x)=x-tan(x)-tan(x-tan(x))[/tex]
Det kan vises at [tex]2<f(x)<\pi[/tex] dersom [tex] 2<x<\pi[/tex]
Og [tex] f(x)-x>0[/tex] dersom [tex]2<x<\pi[/tex]. Derfor er følgen [tex]b_n[/tex] begrenset og voksende, så den konvergerer.
På samme måte vises at [tex]c_n[/tex] er begrenset og avtagende og en ser lett at følgene konvergerer mot samme verdi, [tex]\pi[/tex], ved å beregne fikspunkt og kreve at det ligger mellom [tex]2[/tex] og [tex]2\pi-2[/tex].
For alle [tex]\epsilon>0[/tex] fins da en N og M slik at [tex]|b_n-\pi|<\epsilon[/tex] for n>N og[tex] |c_n-\pi|<\epsilon[/tex] for n>M. Da vil [tex]|a_n-\pi|<\epsilon[/tex] for n>2*max(N,M)+1 . Derfor konvergerer [tex]a_n[/tex] mot [tex]\pi[/tex]