La [tex]ABCDE[/tex] være et pentagon innskrevet i en sirkel [tex]\omega[/tex].
Hvis [tex]A^\prime'[/tex], [tex]B^\prime'[/tex], [tex]C^\prime'[/tex], [tex]D^\prime[/tex] og [tex]E^\prime'[/tex] er midtpunktene på henholdsvis [tex]CD[/tex], [tex]DE[/tex], [tex]EA[/tex], [tex]AB[/tex] og [tex]BC[/tex], vis at midtpunktene til [tex]A^\prime C^\prime'[/tex], [tex]B^\prime D^\prime'[/tex], [tex]C^\prime E^\prime'[/tex], [tex]E^\prime B^\prime'[/tex] og [tex]D^\prime A^\prime'[/tex] ligger på en sirkel.
Hvis vi kaller denne sirkelen [tex]\gamma[/tex], hva er da forholdet mellom arealene til pentagonene som ligger på [tex]\omega[/tex] og [tex]\gamma[/tex]?
Pentagon
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
La [tex]A=(x_1, y_1), B=(x_2, y_2), C=(x_3, y_3), D=(x_4, y_4), E=(x_5, y_5)[/tex]. Da ser vi at [tex]A^`=(\frac {x_3+x_4} 2 , \frac {y_3+y_4} 2), B^`=(\frac {x_4+x_5} 2 , \frac {y_4+y_5} 2), C^`=(\frac {x_5+x_1} 2 , \frac {y_5+y_1} 2), D^`=(\frac {x_1+x_2} 2 , \frac {y_1+y_2} 2), E^`=(\frac {x_2+x_3} 2 , \frac {y_2+y_3} 2)[/tex]. Tegner vi så opp A'C', B'D', C'E', D'A og E'B'' og kaller midpunktene deres for henholdsvis B*, C*, D*, E* og A* ser vi at [tex]A*=(\frac {x_2+x_3+x_4+x_5} 4, \frac {y_2+y_3+y_4+y_5} 4), B*=(\frac {x_1+x_3+x_4+x_5} 4 , \frac {y_1+y_3+y_4+y_5} 4) C*=(\frac {x_1+x_2+x_4+x_5} 4 , \frac {y_1+y_2+y_4+y_5} 4), D*=(\frac {x_1+x_2+x_3+x_5} 4 , \frac {y_1+y_2+y_3+y_5} 4), E*=(\frac {x_1+x_2+x_3+x_4} 4 , \frac {y_1+y_2+y_3+y_4} 4)[/tex]. Men dette betyr at om vi definerer [tex]S=(\frac {x_1+x_2+x_3+x_4+x_5} 4, \frac {y_1+y_2+y_3+y_4+y_5} 4)[/tex] er [tex]A*=S-\frac 1 4 A[/tex] og tilsvarende for B, C, D og E, som betyr at femkanten A*B*C*D*E* kan transformeres til femkanten ABCDE kun ved hjelp av translasjon, rotasjon og krymping. Siden alle disse bevarer formen vil femkantene A*B*C*D*E* og ABCDE være formlike, og derfor kan A*B*C*D*E* opplagt innskrives i en sirkel dersom ABCDE kan det. Dette betyr også at siden pentagonet krympes med en faktor på fire vil det samme gjelde i radien i sirkelen, dvs at [tex]R=4r[/tex] der R er radien i den store sirkelen og r er radien i den transformerte sirkelen (som A*, B*, C*, D* og E* ligger på). Da blir forholdet vi leter etter lik [tex]\frac {\pi R^2} {\pi (\frac 1 4 R)^2} = 16[/tex]. Beklager noe kortfattet forklaring mot slutten - har smått hastverk og oppdaterer om nødvendig senere.