matematikk.net

Finn alle primtall [tex]p, q[/tex] slik at [tex]p^2-2q^2=1[/tex].

[tex]p=2[/tex] gir [tex]0\neq 1 (mod 2)[/tex]

[tex]q=2[/tex] gir

[tex]p^2=1+2*2^2=3^2[/tex]

La
[tex]p=2n+1[/tex]
[tex]q=2m+1[/tex]:

[tex](2n+1)^2-2(2m+1)^2=1[/tex]

[tex]\Rightarrow 2n(n+1)-4m(m+1)=1[/tex]

[tex]0\neq 1 (mod 2)[/tex]

Eneste (positive) primtallige løsninger er [tex](p,q)=(3,2)[/tex]

Ser flott ut dette. En annen løsning som går ut på mer eller mindre det samme er å legge merke til at [tex]p[/tex] må være et oddetall, og så betrakte likningen modulo fire. Siden oddetallskvadrater er kongruente med 1 modulo 4 får vi [tex]2q^2=0 (mod 4)[/tex], så [tex]q^2=0 (mod 2)[/tex], og derfor er [tex]q=2[/tex], og ved innsetting får vi [tex]p=3[/tex].