Kaosteori og sannsynlighet

[espen180]

En likesidet trekant ligger i planet. Hele trekanten ligger i første kvadrant og har hjørner i [tex]A(0,0)[/tex], [tex]B(1,0)[/tex] og [tex]C\left(\frac12,\frac{\sqrt{3}}{2}\right)[/tex]. Et punkt [tex]P_0[/tex] ligger inne i trekanten.

Vi kaster en terning og plasserer et nytt punkt [tex]P_n[/tex] etter hvert kast. Hvor mange øyne terningen viser avgjør hvor det nye punktet befinner seg.

Hvis det n'te terningkastet viser 1 eller 2 øyne, er [tex]\vec{OP_n}=\vec{OP_{n-1}}+\frac12\vec{P_{n-1}A}[/tex].
Hvis det n'te terningkastet viser 3 eller 4 øyne, er [tex]\vec{OP_n}=\vec{OP_{n-1}}+\frac12\vec{P_{n-1}B}[/tex].
Hvis det n'te terningkastet viser 5 eller 6 øyne, er [tex]\vec{OP_n}=\vec{OP_{n-1}}+\frac12\vec{P_{n-1}C}[/tex].

Det vil si at [tex]P_n[/tex] har [tex]3^n[/tex] mulige plasseringer.

I denne oppgaven ligger [tex]P_0[/tex] i omsenteret til trekanten.

Hva er den forventede avstanden mellom [tex]P_0[/tex] og [tex]P_3[/tex]?

Hva med mellom [tex]P_0[/tex] og [tex]P_n[/tex]?