matematikk.net

(Oppgave stjå^H^H^H lånt fra en meget kjent introduksjonsbok til problemløsning.)

Finn alle reelle [tex]x[/tex] slik at [tex](16x^2-9)^3+(9x^2-16)^3=(25x^2-25)^3[/tex]. Å utvide parentesene og løse en sjettegradslikning er mulig, men det finnes en mye enklere måte.

Hint: Gjør en substitusjon og faktoriser.

Hint 2: a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2).

[tex]9x^2+16x^2=25x^2[/tex] så

V.S.[tex]=((16x^2-9)+(9x^2-16))^3=(16x^2-9)^3+(9x^2-16)^3+...[/tex]

Rydder vi opp i ligningen ut fra dette får vi

[tex]0=(16x^2-9)(9x^2-16)(x^2-1)[/tex]

så [tex]x^2=1[/tex] med løsninger [tex]x=\pm 1[/tex],

[tex]16x^2=9[/tex] med løsninger [tex]x=\pm \frac{3}{4}[/tex], eller [tex]9x^2=16[/tex] med løsninger [tex]x=\pm \frac{4}{3}[/tex]