matematikk.net

Et barnehagebarn kan vise at antall flater [tex]n[/tex] korder deler en sirkel i aldri overskrider [tex]2^n[/tex], men hvis vi denoterer maks antall flater som [tex]f(n)[/tex] er det da mulig å finne et nøyaktig uttrykk for [tex]f(n)[/tex]?

Jeg testet mye med geogebra og fant ut at f({1,2,3,4,5,6}) = {2,4,7,11,16,22} etter å feilet og prøvd en stund så greier jeg å skape en funksjon.

[tex]f_n\ =\ \frac{n^2+n}{2}+1[/tex]

Så var det å bevis det da.

Prinsippet er at vi innfører én og én ny korde. n-te korde vil maksimalt krysse n-1 korder som gir opphav til maksimalt n nye flater. Betingelsen er at ingen tripler av korder skjærer hverandre i samme punkt. Dette gir oss differensligningen:

[tex]f_n=f_{n-1}+n[/tex] med initialbetingelsen [tex]f_1=2[/tex]


Ser først på den homogene ligningen og antar løsning på formen [tex]k^n[/tex]. Innsatt fås [tex]k^n-k^{n-1}=0[/tex] så

[tex]1-\frac{1}{k}=0[/tex] eller likeledes [tex]k=1[/tex].


Antar så partikulærløsning på formen

(Ansatz) [tex]f_n^{part}=An^2+Bn+C[/tex]

Innsatt i ligningen får vi at [tex]n(1-2A)+A-B=0[/tex]

Siden dette skal gjelde for alle [tex]n[/tex] må vi ha [tex]A=B=\frac{1}{2}[/tex].


Den totale løsningen blir følgelig

[tex]f_n=1+\frac{1}{2}(n^2+n)+C[/tex]

Initialbetingelsen gir at [tex]C=0[/tex] så

[tex] f_n=\frac{1}{2}(n^2+n)+1[/tex].

Her kan man også bruke grafteori.

[tex]g(n)[/tex] avhenger av hvor kordene settes på sirkelen (om de settes i felles punkt eller ikke)

[tex]v=1+2+...+(n-1)+g(n)=\frac{1}{2}(n^2-n)+g(n)[/tex]
[tex]e=2(1+2+...+(n-1))+n+g(n)=n^2+g(n)[/tex]

[tex]r=e+2-v=n^2+g(n)+2-\frac{1}{2}(n^2-n)-g(n)=\frac{1}{2}(n^2+n)+2[/tex]

Men her teller vi med flaten utenfor sirkelen, så svaret blir [tex]\frac{1}{2}(n^2+n)+1[/tex]