Krysningspunkt

[Gommle]

La [tex]A=\left(A, f(A)\right)[/tex], [tex]B=\left(B, f(A)\right)[/tex] og [tex]C=\left(\frac{A+B}{2}, f\left(\frac{A+B}{2}\right)\right)[/tex] være punkter på en polynomfunksjon av andre grad.

Hva er koordinatene til krysningspunktet [tex]D[/tex] mellom normalen fra [tex]f[/tex] i punktet punktet [tex]C[/tex], og linjen AB?

[espen180]

[tex]\vec{BA}=\left[A-B,f(A)-f(B)\right][/tex]

I punktet [tex]C[/tex] er tangenten til [tex]f[/tex] parallell med [tex]\vec{BA}[/tex], så en normal på [tex]f[/tex] er en normal på [tex]\vec{BA}[/tex].

[tex]\vec{BC}=\left[\frac{A-B}{2},f\left(\frac{A+B}{2}\right)-f(B)\right] \\ \vec{CD}=\vec{CB}+k\vec{BA}=\left[\frac{B-A}{2}+k(A-B),f(B)-f\left(\frac{A+B}{2}\right)+k\left(f(A)-f(B)\right)\right] \\ \vec{BA}\cdot\vec{CD}=0 \\ \frac{AB-A^2}{2}+k(A^2-AB)-\frac{B^2-AB}{2}-k(AB-B^2)+f(A)f(B)-f(A)f\left(\frac{A+B}{2}\right)+k\left(f^2(A)-f(A)f(B)\right)-f^2(B)+f(B)f\left(\frac{A+B}{2}\right)-k\left(f(A)f(B)-f^2(B)\right)=0 \\ -k(A^2-AB)+k(AB-B^2)-k\left(f^2(A)-f(A)f(B)\right)+k\left(f(A)f(B)-f^2(B)\right)=\frac{AB-A^2}{2}-\frac{B^2-AB}{2}+f(A)f(B)-f(A)f\left(\frac{A+B}{2}\right)-f^2(B)+f(B)f\left(\frac{A+B}{2}\right) \\ k\left(AB-B^2-A^2+AB+f(A)f(B)-f^2(B)-f^2(A)+f(A)f(B)\right)=\frac{AB-A^2}{2}-\frac{B^2-AB}{2}+f(A)f(B)-f(A)f\left(\frac{A+B}{2}\right)-f^2(B)+f(B)f\left(\frac{A+B}{2}\right) \\ k=\frac{\frac{-\left(A-B\right)^2}{2}+f(A)f(B)-f(A)f\left(\frac{A+B}{2}\right)-f^2(B)+f(B)f\left(\frac{A+B}{2}\right)}{-\left(A-B\right)^2-\left(f(A)-f(B)\right)^2}[/tex]

Nå vil [tex]\vec{OD}=\vec{OB}+k\vec{BA}[/tex]

Uttrykket blir grusomt stygt, så jeg gidder ikke skrive det ned nå.