matematikk.net

1) Bevis for at infleksjonspunktet til en tredjegradsfunksjon ligger midt mellom ekstremalpunktene?
2) Utregning for å finne sentrert til omsirkelen til en trekant med kjente punkter?

Nummer 2 er ikke vanskelig, men det blir litt mye regning, så jeg er mest interessert i førstnevnte.

En enkel måte å vise 1) på er å sette opp et uttrykk for en generell tredjegradsfunksjon ([tex]ax^3+bx^2+cx+d[/tex]) og derivere dette både en og to ganger. Man kan så sette den deriverte lik null og løse en annengradslikning for å finne uttrykk for ekstremalpunktene og så løse en førstegradslikning for å finne uttrykk for infleksjonspunktet. Så viser man ganske enkelt at summen av ekstremalpunktene delt på to er lik uttrykket for infleksjonspunktet, og vips er man ferdig.

EDIT: Du kan forsåvidt også bruke det at en annengradsfunksjon er en parabel og at denne har en symmetrilinje for å vise at nullpunktene (ekstremalpunktet til den opprinnelige funksjonen) ligger symmetrisk om en symmetrilinje som skjærer parabelen i ekstremalpunktet, dvs der den deriverte er null. Siden den deriverte av den deriverte er lik den dobbeltderiverte betyr dette at den dobbeltderivertes nullpunkt ligger midt mellom den derivertes nullpunkter, og vi er ferdige.

[tex]f(x) = ax^3+bx^2+cx+d\\f^\prime(x) = 3ax^2+2bx+c\\f^{\prime\prime}(x) = 6ax+2b[/tex]

[tex]f^\prime(x) = 0[/tex] har løsningene

[tex]x=\frac{-b-\sqrt{b^2-3ac}}{3a}[/tex] og [tex]x=\frac{-b+\sqrt{b^2-3ac}}{3a}[/tex]

Gjennomsnittet av disse blir da

[tex]\frac{\frac{-b-\sqrt{b^2-3ac}}{3a}+\frac{-b+\sqrt{b^2-3ac}}{3a}}{2} = -\frac{b}{3a}[/tex]

Løsningen av [tex]f^{\prime\prime}(x)=0[/tex] er også [tex]-\frac{b}{3a}[/tex]