matematikk.net

Et kvadrat [tex]ABCD[/tex] med sidelengde [tex]a[/tex] er gitt.

1. Konstruer en sirkel [tex]c[/tex] med sentrum [tex]S[/tex] slik at [tex]D[/tex] ligger på sirkelperiferien og sirkelen tangerer [tex]AB[/tex] og [tex]BC[/tex].

Beskriv konstruksjonen trinnvis.

2. Hva er radiusen til sirkelen?

1. Konstruer kvadratet.
2. Trekk en linje BD
3. Trekk en bue fra A til C og sett en punkt E der buen AC krysser linjen BD
4. Konstuer en sirkel med senter i E og radius BE Sett og sett av et punkt S der sirkelen krysser BD.
5. Konstruer en sirkel c med senter i S og radius DS.

Sirkel c vil nå tangere AB og BC. Jeg kaster oppgaven over til nestemann som kan ta utregningen på DS og bevise at konstruksjonen er riktig.

Flott fremgangsmåte.

EDIT: Her er min metode:

1. Trekk linja BD.
2. Konstruer vinkelhalveringslinjene mellom DA og DB og mellom DB og DC og marker punktene E og F der vinkelhalveringslinjene skjærer henholdvis AB og BC.
3. Konstruer en normal på AB gjennom E og konstruer en normal på BC gjennom F. Normalene skjærer hverandre i sentrumet S (G på tegningen) for sirkelen.
4. Konstruer en sirkel med radius SD om S. Denne sirkelen går nå gjennom D og tangerer AB og BC.

Kan jeg spørre hvordan dere tenker når dere skal gjøre en oppgave som denne? Prøver dere dere bare frem?
Jeg merker selv at jeg ikke har noen klare mål og meninger bak konstruksjonene og bare håper at jeg nærmer meg løsningen Det hadde vært fint å høre deres tanker.

Jeg hadde null konstruksjonserfaring før jeg begynte å bruke geogebra. Et vannvittig bra vertøy. Det er mye prøving og feiling. Begynn med noen enkle oppgaver og ta vanskligere etterhvert. I denne oppgaven måtte jeg vri hjeren fram og tilbake før jeg fant en løsning. Da var det ikke i mine tanker det espen gjorde med vinkeldeling.

Jeg kom fram til min fremgangsmåte gjennom analytiske beregninger gjort med en tegning av det ferdige resultatet.

Bruk bildet jeg la ved over som referanse. (Punkt G skal være punkt S.) Denne forklaringen blir kanskje litt drøy, så for å gjøre lesingen lettere kan du se på bildet etter hver setning så du klarer å følge med.

Siden [tex]EBFS[/tex] er et kvadrat, er [tex]\angle ESF=90^\circ[/tex]. Dette vil si at [tex]\angle ESD=\angle FSD=\frac{360^\circ-90^\circ}{2}=135^\circ[/tex]. Linjestykkene [tex]DS[/tex] og [tex]SE[/tex] er like lange (begge er lik radiusen til sirkelen.), så [tex]DSE[/tex] er en likebeint trekant. Derfor vil [tex]\angle EDS=\angle DES=\frac{180^\circ-135^\circ}{2}=22.5^\circ[/tex]. Siden [tex]ABCD[/tex] er et kvadrat er vinkelen [tex]\angle ADB=45^\circ[/tex], så [tex]\angle ADE=\angle ADB-\angle EDS=22.5^\circ=\angle EDS[/tex], så linja [tex]DE[/tex] er vinkelhalveringslinja mellom [tex]AD[/tex] og [tex]DB[/tex]. Den samme fremgangsmåten kan brukes til å vise at [tex]DF[/tex] er vinkelhalveringslinja mellom [tex]DC[/tex] og [tex]DB[/tex].


Jeg føler alltid at å tegne den ferdige konstruksjonen og analysere den først gjør konstruksjonen enklere.

Man kan også løse den med litt enkel algebra:

Hvis man legger kvadratet i et koordinatsystem, så ser man at sentrum av sirkelen vil ligge på linja [tex]y=x[/tex]. Vi finne punktet [tex](x,x)[/tex] slik at [tex]x=\sqrt{(1-x)^2+(1-x)^2}[/tex] som gir [tex]x=2-sqrt{2}[/tex]. Vi kan definere diagonalens lengde til 1, da blir sidenes lengde [tex]\frac{sqrt{2}}{2}[/tex]. Vi dobler lengden på diagonalen og forkorter med den dobbelte av lengden på en av sidene. Punktet vi ender opp på er sentrum for sirkelen. Trekk den gjennom D.

Ja, algebraen kommer jo inn i oppgave 2, der man skal finne radiusen gtil sirkelen.

Oppfølger, lettere enn den forrige:

1. Gitt et kvadrat ABCD, konstruer en sirkel som går gjennom A og D og tangerer BC.

2. Gitt en sirkel, konstruer en
a) Likesidet trekant om sirkelen.
b) Rettvinklet 30-60-90 trekant om sirkelen.

Oppgave 1.
Vi har allerede to av punktene som definerer sirkelen og trenger dermed bare å finne et tredje punkt for å ha en entydig sirkel. Dette punktet må på grunn av symmetri være midtpunktet på BC.

1. Halver linjestykket BC og kall punktet E.
2. Trekk linjene AE, ED. Disse to og AD danner en trekant AED.
3. Halver hver av linjene i trekanten og kall midtpunktene F, G og H.
4. Konstruer normalene i F, G og H. (Midtnormaler)
5. Normalene skjærer hverandre i et punkt S. Dette er da sentrum i sirkelen vi skulle finne.
6. Slå sirkelen med sentrum S og radie SA = SD = SE

Ja, det stemmer. Tar du oppgave 2 også?

Oppgave 2a)

Gitt en sirkel med sentrum A og radie AB, der B er et vilkårlig punkt på sirkelen.

1) Trekk linjen mellom A og B.
2) Konstruer to linjer med 120 graders vinkler på AB, slik at sirkelen deles i tre like store deler. Kall skjæringspunktene linjene danner med sirkelen for C og D.
3) Konstruer tre normaler gjennom B, C og D på henholdsvis AB, AC og AD. Disse normalene skjærer hverandre i tre punkter E, F og G.
4) Slå linjestykkene EF, FG og GE og vi har dermed en likesidet trekant som tangerer sirkelen.

Riktig igjen.

Oppgave 2b)

Gitt en sirkel med sentrum A og radie AB, der B er et vilkårlig punkt på sirkelen.

1) Konstruer sirkel 2 med sentrum B og radie AB.
2) Konstruer normalen på AB gjennom B. Normalen skjærer sirkel 2 i punktet C.
3) Konstruer normalen på BC gjennom punkt C.
4) Konstruer så en linje som ligger 120 grader på AB og skjærer sirkel 1 i punktet D.
5) Konstruer normalen gjennom D på linjen AD. Denne normalen skjærer linjen BC og normalen til BC gjennom C i henholdsvis punktet E og F.
6) Trekant CEF er en 30-60-90 graders trekant som tangerer sirkel 1.

jepp.