matematikk.net

Fins det et polyeder i rommet med nøyaktig 7 sidekanter?

Niks. La v være antall noder, f, sider og e kanter (i tråd med engelsk vertices, faces og edges, for de som ønsker å lære seg grafteori.)

Etter Eulers invariant vet vi at v + f - e = 2, altså må vi ha v + f = 9
I et polyeder må alle noder ha grad minst 3. Vha. håndtrykkslemmaet har vi 3v <= 14, så v <= 4 Siden sideflatene på et polyeder minimum er triangler, må vi også ha 3f <= 2e, så f <= 4. Dermed har v + f = 9 ingen løsninger i positive heltall. Dette går ikke.

Det stemmer. Oppfølgeren er å vise at det er mulig å lage et polyeder med n kanter i rommet for alle andre n>5.

Det går fint for n=6 med et tetrahedron.

For n=8 kan vi lage et kvadrat hvor hjørnene er koblet til en ekstra node.

For n=10 kan vi feste en node til alle hjørnene i et pentagon.

Nå har vi tre polyedere med ulikt antall kanter modulo 3 som vi kaller basepolyederene. Alle disse har trekantede flater. Hvis vi vil lage et polyeder med n kanter, begynner vi med det basepolyederet som er lik n modulo 3. Deretter legger vi til flere kanter ved å feste en node på en allerede eksisterende trekant. Siden en slik operasjon danner to ytterligere trekanter, går vi aldri "tom" for trekanter. På denne måten kan vi bygge et basepolyeder til et polyeder med n kanter.