matematikk.net

Finn alle kvadrattall som skrives med bare et slags siffer i titallsystemet.

Vi har trivielt [tex](0^2)[/tex], [tex]1^2[/tex], [tex]2^2[/tex] og [tex]3^2[/tex] som bare har ett siffer i titallssystemet. Vi antar så at et tall T som bare består av n 'utgaver' av sifferet a i titallssystemet er lik [tex]k^2[/tex] for en heltallig k. Vi legger først merke til at alle kvadrattall er kongruente med 0, 1, 4 eller 9 modulo 16, og at alle tall er kongruente med de siste fire sifrene sine modulo 16. Siden [tex]1111a \equiv 7a \hspace {10 mm} mod {16} [/tex] kan vi bare prøve oss frem og se hvilke av de ni mulighetene for a som virker. Det viser seg at kun sju passer, og den eneste muligheten for et kvadrattall som bare består av ett siffer er altså om sifferet er sju, men ved å se på kvadrattall modulo 10 ser vi at ingen kvadrattall slutter på 7, og altså finnes det ingen slike kvadrattall unntatt de som bare har ett siffer.

EDIT: Helt strengt tatt skal det sies at dette ikke viser at tresifrede eller tosifrede tall som bare bruker ett siffer ikke kan være kvadrattall, men siden det bare er snakk om 18 tilfeller kan man lett sjekke dem for hånd.

For tresifrede tall kan man legge merke til at 111=3*37. Det finnes ikke et et tall 0<a<10 slik at a*111 er et kvadrattall. For tosifrede er det selvfølgelig ikke et tall 0<a<10 slik at 11*a er et kvadrattall.

Det samme kan man forsåvidt gjøre når man har redusert tallet modulo 16 ved å legge merke til at 11^1||1111, så 0<a<10 eksisterer ikke slik at a*1111 er et kvadrattall.