Tore har kjøpt seg et nytt glass. "Veggen" til glasset er ikke konstant eller lineær. Han sier at [tex]r=f(h)[/tex], der [tex]r[/tex] er radiusen til glasset og [tex]h[/tex] er høyden. For å finne [tex]f(h)[/tex] vil Tore fylle glasset med vann. Han fyller på vannet slik at [tex]\frac{d}{dt}V=t[/tex], der [tex]V[/tex] er målt i cl. Han merker seg at høyden vokser slik at [tex]\frac{d}{dt}h=\sqrt{t}+\frac{1}{2}t[/tex], der [tex]h[/tex] måles i cm.
1. Hva er [tex]f(h)[/tex]?
2. Glasset rommer 2dl. Hvor høyt er glasset?
Tores nye glass
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Prøver meg med en kjapp løsning:
Har at
[tex]t=\frac{d}{dt}V(h(t))=\frac{dh}{dt}\frac{d}{dh}\int_0^h \pi f^2(x)\,dx=\frac{dh}{dt}\pi f^2(h)=(\sqrt{t}+\frac{1}{2}t)\pi f^2(h)[/tex].
Derfor er
[tex]f(h(t))=\sqrt{\frac{t}{\pi (\sqrt{t}+\frac{1}{2}t)}}[/tex]
[tex]h(t)=\int \sqrt{t}+\frac{1}{2}t\,dt=\frac{2}{3}t^{\frac{3}{2}}+\frac{1}{4}t^2[/tex] med [tex]h(0)=0[/tex]
La H være høyden av glasset.
[tex]V(H)=\int_0^{t(H)} \frac{t}{\sqrt{t}+\frac{1}{2}t}*(\sqrt{t}+\frac{1}{2}t)\,dt=\frac{1}{2}t^2(H)=20[/tex] gir
[tex]t(H)=\sqrt{40}[/tex] eller
[tex]H=\frac{2}{3}40^{\frac{3}{4}}+10[/tex]
Har at
[tex]t=\frac{d}{dt}V(h(t))=\frac{dh}{dt}\frac{d}{dh}\int_0^h \pi f^2(x)\,dx=\frac{dh}{dt}\pi f^2(h)=(\sqrt{t}+\frac{1}{2}t)\pi f^2(h)[/tex].
Derfor er
[tex]f(h(t))=\sqrt{\frac{t}{\pi (\sqrt{t}+\frac{1}{2}t)}}[/tex]
[tex]h(t)=\int \sqrt{t}+\frac{1}{2}t\,dt=\frac{2}{3}t^{\frac{3}{2}}+\frac{1}{4}t^2[/tex] med [tex]h(0)=0[/tex]
La H være høyden av glasset.
[tex]V(H)=\int_0^{t(H)} \frac{t}{\sqrt{t}+\frac{1}{2}t}*(\sqrt{t}+\frac{1}{2}t)\,dt=\frac{1}{2}t^2(H)=20[/tex] gir
[tex]t(H)=\sqrt{40}[/tex] eller
[tex]H=\frac{2}{3}40^{\frac{3}{4}}+10[/tex]
Fint. 
Er det mulig å uttrykke [tex]r[/tex] ved [tex]h[/tex]?
Er det mulig å uttrykke [tex]r[/tex] ved [tex]h[/tex]?
