matematikk.net

Inspirert av en oppgave jeg så i videregående-forumet.

Vi har en pappskive med radius [tex]r[/tex]. Vi skal klippe ut en sektor og lage et kremmerhus (kjegle) uten lokk av resten.

Vi klipper ut en sektor med sentralvinkel [tex]\theta[/tex].

Finn volumet av kremmerhuset som funksjon av [tex]\theta[/tex] og finn det største volumet kremmerhuset kan få.

Omkretsen av pappskiven blir [tex]2\pi r[/tex], og omkretsen av kjeglen blir da [tex]\frac{\theta}{2\pi}\cdot 2\pi r = \theta r[/tex]

Jeg kaller radiusen i kjeglen for [tex]k[/tex] av praktiske årsaker.

Volumet av en kjegle er [tex]\frac 13 \pi k^2 h[/tex]

[tex]2\pi k = \theta r \\ k = \frac{\theta r}{2\pi} \\ k^2 = \frac{\theta^2 r^2}{4\pi^2} \\ V(\theta) = \frac13 \pi \frac{\theta^2 r^2}{4\pi^2} h = \frac13\cdot\frac{\theta^2 r^2}{4\pi} h = \frac{\theta^2 r^2}{12\pi} h[/tex]

Nå mangler jeg bare et uttrykk for h. Det fikser jeg ved pytagoras, siden jeg har en rettvinklet trekant. Hypotenus r, kortside k, langside h.

[tex]h^2 = r^2 + k^2 \\ h = \sqrt{r^2 + \frac{r^2 \theta^2}{4\pi r^2}}[/tex]

Og stapper det inn i den originale formelen igjen.

[tex]V(\theta) = \frac{r^2 \theta^2 \sqrt{ \frac{r^2(\theta^2 + 4 \pi r^2)}{\pi r^2}}}{24 \pi}[/tex]

Og på dette tidspunktet plotter jeg funksjonen og ser at noe er feil. Lar dette stå her så noen kan si hvor det gikk riv ruskende galt.

Takk for at du satte meg på sporet - her er jo bare sjarmøretappen igjen:
r er hypotenusen i den rettvinklede trekanten - Pythagoras blir da

[tex]r^2 = h^2 + k^2 \\ h = \sqrt{r^2 - \frac{r^2 \theta^2}{4\pi^2}}[/tex]

EDIT: oppdaterte også k[sup]2[/sup]-leddet under rottegnet til å være som du riktig hadde regnet ut tidligere:

[tex]k^2 = \frac{r^2 \theta^2}{4\pi^2}[/tex]

Får da en fin kurve med volum lik 0 ved vinkler lik 0 og 2 [symbol:pi] , med toppunkt ved en vinkel lik 5,13 radianer (grafisk løsning).

Så det nå ja. Slurvefeil og feil i pytagoras, av alle ting

Det største volumet kremmerhuset kan få er [tex]\frac{\pi r^5}{9 \sqrt3}[/tex] når vinkelen er [tex]2\sqrt{\frac23}\pi r[/tex]