matematikk.net

Vann renner gjennom et rør med diameter 1m. Farten til vannet er ikke den samme overalt, men er proposjonal med avstanden til selve røret.

Vi lar et tverrsnitt av røret ha vegger i x=0 og x=1. Farten til vannet er da gitt ved vektorfeltet [tex]\vec{V}=\left[0,-8x^2+8x\right][/tex] der farten er gitt i meter per sekund

Hvor mange liter vann fosser gjennom røret per sekund?

La vannets hastighet i lengderetningen være [tex]V(r)=|\vec{V}(\frac{1}{2}\pm r)|[/tex] der [tex]r[/tex] er målt fra midten av røret.

For volumet av vann ut av et tverrsnitt per tidsenhet har vi integralet

[tex]\int_0^{\frac{1}{2}}2\pi r V(r)\,dr[/tex]

eller eksplisitt

[tex]\int_0^{\frac{1}{2}}2\pi r (-8r^2+2)\,dr=2\pi\left [-2r^4+r^2 \right ]_0^{\frac{1}{2}}=\frac{\pi}{4}\,\frac{m^3}{s}=250\pi\,\frac{dm^3}{s}[/tex].

Stemmer dette?