Areal av kvadrat

[Realist1]

Et kvadrat er delt inn i 3 like store områder ved hjelp av to parallelle linjer slik at den ene linjen ender i et hjørne mens den andre linjen ender i det motsatte hjørnet. Avstanden mellom linjene er 6 cm. Hva er da kvadratets areal?

[Karl_Erik]

Linjene deler kvadratet i tre biter - to rettvinklede trekanter med kvadratets side som den ene kateten og en av de parallelle linjene som hypotenus og et parallellogram i midten av dem. Siden arealet av hele kvadratet er [tex]s^2[/tex] der [tex]s[/tex] er siden i kvadratet og alle bitene er like store må arealet av en av dem være [tex]\frac 1 3 s^2[/tex]. Siden vi allerede vet at den ene kateten i trekanten(e) er [tex]s[/tex] betyr dette at den andre må være [tex]\frac 2 3 s[/tex], og at Pythagoras' teorem må hypotenusen (som også er den ene siden i parallellogrammet) da være [tex]\frac {sqrt{13}} 3 s[/tex]. Høyden i parallellogrammet er den samme som avstanden mellom de parallelle linjene og altså lik 6, og siden arealet av parallellogrammet er [tex]\frac 1 3 s^2[/tex] må vi ha likningen [tex]\frac {sqrt{13}} 3 s \cdot 6 = \frac 1 3 s^2[/tex] som gir [tex]s= 6{sqrt{13}}[/tex], så arealet av kvadratet blir [tex]s^2=468[/tex].