Nordisk Tallteori 94
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Synes ikke denne løsningen er særlig pen, menmen, tror den stemmer...
[tex]n^2+(n+1)^2=k^2\,\,\Rightarrow\, n=2ab \wedge n+1=a^2-b^2\, \vee \,n=a^2-b^2\wedge n+1=2ab [/tex]
(Det er kjent at hvis (n,n+1,k) er en pythagoreisk trippel, så eksistere slike heltall a og b)
I) [tex]n=2ab \wedge n+1=a^2-b^2[/tex]
[tex]2ab+1=a^2-b^2\, \Rightarrow\, a=\frac{2b+\sqrt{8b^2+4}}{2}=b+\sqrt{2b^2+1}[/tex]
[tex]200>2ab \, \Rightarrow \, b<10[/tex]
Ved å sjekke for b=1,2,...,9 finner vi at bare b=2 gir løsning, som gir a=5.
Da har vi løsning (n,n+1,k)=(20,21,29).
II) [tex]n=a^2-b^2\wedge n+1=2ab[/tex]
[tex]2ab=a^2-b^2+1\, \Rightarrow\, a=\frac{2b+\sqrt{8b^2-4}}{2}=b+\sqrt{2b^2-1}[/tex]
[tex]200>n=2ab-1\, \Rightarrow \, b<10[/tex]
Igjenn sjekker vi for b=1,2,...,9 og finner at kun b=1 og b=5 gir løsninger, med hendholdsvis a=2 og a=12. Dette gir løsningene (n,n+1,k)=(3,4,5) og (n,n+1,k)=(119,120,169)
Derfor er [tex]n=3\vee20\vee119[/tex]
[tex]n^2+(n+1)^2=k^2\,\,\Rightarrow\, n=2ab \wedge n+1=a^2-b^2\, \vee \,n=a^2-b^2\wedge n+1=2ab [/tex]
(Det er kjent at hvis (n,n+1,k) er en pythagoreisk trippel, så eksistere slike heltall a og b)
I) [tex]n=2ab \wedge n+1=a^2-b^2[/tex]
[tex]2ab+1=a^2-b^2\, \Rightarrow\, a=\frac{2b+\sqrt{8b^2+4}}{2}=b+\sqrt{2b^2+1}[/tex]
[tex]200>2ab \, \Rightarrow \, b<10[/tex]
Ved å sjekke for b=1,2,...,9 finner vi at bare b=2 gir løsning, som gir a=5.
Da har vi løsning (n,n+1,k)=(20,21,29).
II) [tex]n=a^2-b^2\wedge n+1=2ab[/tex]
[tex]2ab=a^2-b^2+1\, \Rightarrow\, a=\frac{2b+\sqrt{8b^2-4}}{2}=b+\sqrt{2b^2-1}[/tex]
[tex]200>n=2ab-1\, \Rightarrow \, b<10[/tex]
Igjenn sjekker vi for b=1,2,...,9 og finner at kun b=1 og b=5 gir løsninger, med hendholdsvis a=2 og a=12. Dette gir løsningene (n,n+1,k)=(3,4,5) og (n,n+1,k)=(119,120,169)
Derfor er [tex]n=3\vee20\vee119[/tex]
-
mrcreosote
- Guru
- Innlegg: 1995
- Registrert: 10/10-2006 20:58
Hvis uttrykket skal bli kvadratet på y, er ligninga med x=2n+1 det samme som den Pellske(?) ligninga [tex]x^2-2y^2=-1[/tex]. Her er et nyttig notat for konkurransematematikere som beskriver hvordan slikt kan løses; det koker ned til at løsninga er gitt ved [tex]x=2n+1=\frac12((1+\sqrt2)^{2k+1}+(1-\sqrt2)^{2k+1}))[/tex] der k er et heltall, og ved sjekk blir allerede k=4 for stor for oss, så vi får løsningene som over.
Mer tallteori: (Nordisk 1999)
Ikke-negative heltall [tex]a[/tex] og [tex]b[/tex] er gitt. En soldat går i et koordinatsystem [tex]\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}[/tex] som følger. For hvert trinn, fra et punkt [tex](x,y)[/tex], kan han kun gå til ett av punktene [tex](x \pm a, x \pm b) , \ (x \pm b, y \pm a)[/tex]. Finn alle verdier av [tex]a[/tex] og [tex]b[/tex] slik at soldaten kan besøke hvert punkt i koordinatystemet under en uendelig lang gåtur.
Ikke-negative heltall [tex]a[/tex] og [tex]b[/tex] er gitt. En soldat går i et koordinatsystem [tex]\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}[/tex] som følger. For hvert trinn, fra et punkt [tex](x,y)[/tex], kan han kun gå til ett av punktene [tex](x \pm a, x \pm b) , \ (x \pm b, y \pm a)[/tex]. Finn alle verdier av [tex]a[/tex] og [tex]b[/tex] slik at soldaten kan besøke hvert punkt i koordinatystemet under en uendelig lang gåtur.
Dette er kanskje et litt teit spørsmål, men uansett:
er det mulig å bevege seg fra [tex](x,y)[/tex] til [tex] (x+a,y-b)[/tex], [tex](x-a,y+b)[/tex], [tex] (x-b,y+a)[/tex], eller [tex](x+b,y-a)[/tex], eller er det bare mulig å bevege seg fra [tex](x,y)[/tex] til [tex](x+a,y+b)[/tex], [tex](x+b,y+a)[/tex], [tex](x-a,y-b)[/tex], eller [tex](x-b,y-a)[/tex]?
er det mulig å bevege seg fra [tex](x,y)[/tex] til [tex] (x+a,y-b)[/tex], [tex](x-a,y+b)[/tex], [tex] (x-b,y+a)[/tex], eller [tex](x+b,y-a)[/tex], eller er det bare mulig å bevege seg fra [tex](x,y)[/tex] til [tex](x+a,y+b)[/tex], [tex](x+b,y+a)[/tex], [tex](x-a,y-b)[/tex], eller [tex](x-b,y-a)[/tex]?
Sist redigert av Sonki den 16/03-2009 15:49, redigert 2 ganger totalt.
Ok, her kommer mitt løsningsforslag:
Hvis personen skal kunne bevege seg fra (x,y) til ethvert annet punkt i koordinatsystemet med heltallige koordinater, så skal det også være mulig å bevege seg til [tex](x+1,y)[/tex]. Altså må det eksistere heltall [tex]m,n[/tex] slik at [tex](x,y) + m(a,b) + n(b,a) = (x+1,y)[/tex] Vi får da at:
[tex]x + ma + nb = x+1[/tex] og [tex] y + mb + na = y[/tex]
altså er [tex] ma + nb = 1 [/tex] og [tex] mb = -na[/tex], og åpenbart kan ikke [tex] m [/tex] være lik [tex]n[/tex]
[tex] mb = -na \leftrightarrow b = -\frac{na}{m} \wedge a = -\frac{mb}{n}[/tex]
Ved å substituere dette inn i uttrykket [tex] ma + nb = 1 [/tex] får vi:
[tex]m^2a - n^2a = m [/tex] og [tex] n^2b - m^2b = n[/tex], og
[tex]m^2a - n^2a -(n^2b - m^2b ) = m-n[/tex]
[tex] (m-n)(m+n)(a+b) = m-n \rightarrow (m+n)(a+b)=1[/tex]
Siden [tex]a[/tex] og [tex]b[/tex] er ikke negative heltall, må da en av dem være lik 1 og den andre lik 0.
Hvis [tex]a = 1 \wedge b= 0 \vee a = 0 \wedge b = 1[/tex] så kan man bevege seg fra [tex](x,y)[/tex] til [tex](x+1,y)[/tex],[tex](x,y+1)[/tex],[tex](x-1,y)[/tex], eller [tex](x,y-1)[/tex], og da åpenbart er det mulig å bevege seg videre til alle andre punkter i planet.
Dermed er de eneste mulige verdiene for [tex]a[/tex] og [tex]b[/tex] 0 og 1
QED
Hvis personen skal kunne bevege seg fra (x,y) til ethvert annet punkt i koordinatsystemet med heltallige koordinater, så skal det også være mulig å bevege seg til [tex](x+1,y)[/tex]. Altså må det eksistere heltall [tex]m,n[/tex] slik at [tex](x,y) + m(a,b) + n(b,a) = (x+1,y)[/tex] Vi får da at:
[tex]x + ma + nb = x+1[/tex] og [tex] y + mb + na = y[/tex]
altså er [tex] ma + nb = 1 [/tex] og [tex] mb = -na[/tex], og åpenbart kan ikke [tex] m [/tex] være lik [tex]n[/tex]
[tex] mb = -na \leftrightarrow b = -\frac{na}{m} \wedge a = -\frac{mb}{n}[/tex]
Ved å substituere dette inn i uttrykket [tex] ma + nb = 1 [/tex] får vi:
[tex]m^2a - n^2a = m [/tex] og [tex] n^2b - m^2b = n[/tex], og
[tex]m^2a - n^2a -(n^2b - m^2b ) = m-n[/tex]
[tex] (m-n)(m+n)(a+b) = m-n \rightarrow (m+n)(a+b)=1[/tex]
Siden [tex]a[/tex] og [tex]b[/tex] er ikke negative heltall, må da en av dem være lik 1 og den andre lik 0.
Hvis [tex]a = 1 \wedge b= 0 \vee a = 0 \wedge b = 1[/tex] så kan man bevege seg fra [tex](x,y)[/tex] til [tex](x+1,y)[/tex],[tex](x,y+1)[/tex],[tex](x-1,y)[/tex], eller [tex](x,y-1)[/tex], og da åpenbart er det mulig å bevege seg videre til alle andre punkter i planet.
Dermed er de eneste mulige verdiene for [tex]a[/tex] og [tex]b[/tex] 0 og 1
QED
Her er en oppgave fra Nordisk 2006:
en følge {[tex]a_{n}[/tex]} av positive heltall er gitt ved
[tex]a_{0} = m[/tex] og [tex]a_{n+1} = a^5_{n} + 487[/tex] for alle [tex]n \geq 0[/tex]
Bestem alle verdier av [tex]m[/tex] som gjør at følgen inneholder flest mulig kvadrattall
en følge {[tex]a_{n}[/tex]} av positive heltall er gitt ved
[tex]a_{0} = m[/tex] og [tex]a_{n+1} = a^5_{n} + 487[/tex] for alle [tex]n \geq 0[/tex]
Bestem alle verdier av [tex]m[/tex] som gjør at følgen inneholder flest mulig kvadrattall