VGS: antall siffer

[Gustav]

Finn antall siffer til [tex]2^{100}[/tex]






(Hint: [tex]\log_{10} 2 =0.30102...[/tex])

[BMB]

[tex]\log2^{100}=100 \log2=30,102...[/tex]

[tex]2^{100} \approx 10^{0,102} \cdot 10^{30}[/tex]

Så svaret er 31.

[Gustav]

Fint det, kort og konsis

[Knuta]

Siden dette ligner litt på mersennefaktorisering følger jeg opp med en oppgave.

Finn det minste primtallet som deler 2^100-1

[espen180]

Bruk et dataprogramm og finn antall tvillingsiffer (33 er tvillingsiffer i 2433948 osv) i [tex]3^{100}[/tex].

[Knuta]

Bruk et dataprogramm og finn antall tvillingsiffer (33 er tvillingsiffer i 2433948 osv) i [tex]3^{100}[/tex].

Trenger ikke noe dataprogram for det? Jeg telte opp 5 stykker på kalkulatoren.

[BMB]

Finn det minste primtallet som deler [tex]2^{100}-1[/tex]

[tex]2^{100}-1=4^{50}-1^{50}=(4-1)(4^{49}+4^{48}+...+4+1)[/tex]

Siden 2 opplagt ikke deler 2^100-1, må 4-1=3 være det minste primtallet.

[Gustav]

Faktisk så gjelder generelt for jevne n:

[tex]x^n-1=(x+1)(x^{n-1}-x^{n-2}\cdots -1)[/tex]

Innsetting av x=2 gir det ønskelige resultat

[Knuta]

Det er helt riktig. Men hvis vi tar et ugjevnt tall f.eks 2^21-1 Hvilket er det laveste da? Og ikke minst hvorfor?

[BMB]

Vel, en opplagt måte vil jo være å finne hva tallet er for de første primtalls-moduloene. Tar vi 2^21-1 som eksempel, ser vi at det er 1 mod(3) og 1 mod(5). Men det er 0 mod(7). Bingo

[Knuta]

Det er veldig lett å se om [tex]2^n-1[/tex] er delelig på f.eks. 3, 7, 15 og 31.

Ved å gjøre det om til binært ser man det med en gang.
3 = 2^1+2^0 bin: 11
7 = 2^2+2^1+2^0 bin: 111
osv.

dersom 2 deler n så vil 3 dele [tex]2^n-1[/tex]
dersom 3 deler n så vil 7 dele [tex]2^n-1[/tex]

Man kan trygt si at 31 deler [tex]2^{1000000}-1[/tex]