VGS-Nøtt, mest rettet mot de som tar 1T, men kan også gjøres av de som tar R1. Den er nok for lett for alle som tar R2 (eller høyere).
Oppgaven:
Gitt en trekant der kantene har midtpunkter i [tex]P=\left(4,\frac52\right)[/tex], [tex]Q=\left(5,4\right)[/tex] og [tex]R=\left(3,\frac72\right)[/tex], finn hjørnene i trekanten.
VGS-Nøtt: Trekant
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Sist redigert av espen180 den 30/01-2009 21:15, redigert 1 gang totalt.
Sjekket nettopp Abelkonkurransen-siden. Det stemmer. 
-
fiskemannen
- Noether
- Innlegg: 43
- Registrert: 20/10-2008 16:25
- Sted: Oslo
Hva mener du med å finne hjørnene? Finne vinkelene?
R1
Jeg trengte et lite hint fra Abel-fasiten for å greie den :/
Men jeg greide det hvertfall. To ligningssett med tre ukjente, og vips.
A(2, -1/10)
B(6, 51/10)
C(4, 29/10)
Men jeg greide det hvertfall. To ligningssett med tre ukjente, og vips.
A(2, -1/10)
B(6, 51/10)
C(4, 29/10)
http://projecteuler.net/ | fysmat
Nei, hvordan det? Kan du vise utregningen din? (Feil på min side forresten, det skulle være 7/2, ikke 7/5.
Det går fint ann å løse den oppgaven du gav også. Trekanten ser helt fin ut i GeoGebra.
Her er det jeg gjorde:
[tex]A(x_1, y_1)\\B(x_2, y_2)\\C(x_3, y_3)\\[/tex]
R er mellom A og C.
P er mellom A og B.
Q er mellom B og C.
Og gjennomsnittet av koordinatsummene gir meg midtpunktet, som jeg har.
Jeg tar x og y-verdiene hver for seg: (Med [tex]P_x[/tex] mener jeg x-koordinaten til P)
[tex]x_1+x_2=2P_x\\x_1+x_3=2R_x\\x_2+x_3=2Q_x[/tex]
[tex]y_1+y_2=2P_y\\y_1+y_3=2R_y\\y_2+y_3=2Q_y[/tex]
Så løste jeg begge ligningene og fikk ut alle x- og y-verdier.
Her er det jeg gjorde:
[tex]A(x_1, y_1)\\B(x_2, y_2)\\C(x_3, y_3)\\[/tex]
R er mellom A og C.
P er mellom A og B.
Q er mellom B og C.
Og gjennomsnittet av koordinatsummene gir meg midtpunktet, som jeg har.
Jeg tar x og y-verdiene hver for seg: (Med [tex]P_x[/tex] mener jeg x-koordinaten til P)
[tex]x_1+x_2=2P_x\\x_1+x_3=2R_x\\x_2+x_3=2Q_x[/tex]
[tex]y_1+y_2=2P_y\\y_1+y_3=2R_y\\y_2+y_3=2Q_y[/tex]
Så løste jeg begge ligningene og fikk ut alle x- og y-verdier.
http://projecteuler.net/ | fysmat
Funker det, men det går an å gjøre det lettere ved å vise at [tex]\vec{AB}=2\vec{QR}[/tex] (hvis P er midtpunktet på AB) osv.
Kan du forklare den metoden? Skjønte det ikke helt.
http://projecteuler.net/ | fysmat
Man kan vise ved vektorregning at sidelengdene til trekanten laget av midtpunktene er halvparten så store som de tilsvarende sidene i den opprinnelige trekanten. Prøv!
Prøver å bevise det jeg:
[tex]\triangle ABC[/tex] har tre midtpunkter på sidene. P på AB, Q på AC og R på BC.
Påstanden er at [tex]2\vec{QP}=\vec{CB}[/tex]
[tex]\vec{QP} = -\frac{1}{2}\vec{AC}+\frac{1}{2}\vec{AB}[/tex] og [tex]\vec{CB} = -\vec{AC}+\vec{AB}[/tex] som kan omformes til [tex]2\vec{QP}=\vec{CB}[/tex]
Ladet med min nye kunnskap løser jeg oppgaven på ny:
[tex]\vec{OA} = \vec{OQ}+\vec{PR} = [5, 4] + [-1, 1] = [4, 5][/tex]
[tex]\vec{OB} = \vec{OQ}-\vec{PR} = [5, 4] - [-1, 1] = [6, 3][/tex]
[tex]\vec{OC} = \vec{OR}+\vec{QP}=[3, \frac{7}{2}]+[-1, -\frac{3}{2}] = [2, 2][/tex]
[tex]\triangle ABC[/tex] har tre midtpunkter på sidene. P på AB, Q på AC og R på BC.
Påstanden er at [tex]2\vec{QP}=\vec{CB}[/tex]
[tex]\vec{QP} = -\frac{1}{2}\vec{AC}+\frac{1}{2}\vec{AB}[/tex] og [tex]\vec{CB} = -\vec{AC}+\vec{AB}[/tex] som kan omformes til [tex]2\vec{QP}=\vec{CB}[/tex]
Ladet med min nye kunnskap løser jeg oppgaven på ny:
[tex]\vec{OA} = \vec{OQ}+\vec{PR} = [5, 4] + [-1, 1] = [4, 5][/tex]
[tex]\vec{OB} = \vec{OQ}-\vec{PR} = [5, 4] - [-1, 1] = [6, 3][/tex]
[tex]\vec{OC} = \vec{OR}+\vec{QP}=[3, \frac{7}{2}]+[-1, -\frac{3}{2}] = [2, 2][/tex]
http://projecteuler.net/ | fysmat
Jepp.