Svingninger

[espen180]

Vis at funksjonen [tex]f(x)=A\cos\left(\omega_1x\right)+A\cos\left(\omega_2x\right)[/tex] er avgrenset av funksjonene

[tex]g_1(x)=A\cos(\omega_2 x) + A \\ g_2(x)=A\cos(\omega_2 x) - A[/tex]

[Gustav]

Er ikke dette åpenbart siden [tex]|\cos(\omega_1 x)|\leq 1[/tex]?

[Emilga]

Siden [tex]g_1 \geq g_2\,\forall \,x[/tex], betyr

Vis at funksjonen [tex]f(x)=A\cos\left(\omega_1x\right)+A\cos\left(\omega_2x\right)[/tex] er avgrenset av funksjonene

[tex]g_1(x)=A\cos(\omega_2 x) + A \\ g_2(x)=A\cos(\omega_2 x) - A[/tex]

det samme som at [tex]g_1 \geq f \geq g_2\,\forall\,x[/tex].

[tex]g_1 \geq f[/tex]:

[tex]A\cos\left(\omega_2x\right)+A \geq A\cos\left(\omega_1x\right)+A\cos\left(\omega_2x\right)[/tex]

(I) [tex]A \geq A\cos\left(\omega_1x\right)[/tex]



[tex]f \geq g_2[/tex]:

[tex]A\cos\left(\omega_1x\right)+A\cos\left(\omega_2x\right) \geq A\cos(\omega_2 x) - A[/tex]

(II) [tex]A\cos\left(\omega_1x\right) \geq -A[/tex]

Vi setter sammen I og II til:

[tex]A \geq A\cos\left(\omega_1x\right) \geq -A \\ A \geq |A\cos\left(\omega_1x\right)|[/tex]
som vi jo vet stemmer.

[Emilga]

Er ikke dette åpenbart siden [tex]|\cos(\omega_1 x)|\leq 1[/tex]?

Når jeg tenker over det, så ja, det er åpenbart.