matematikk.net

Bare en differensialligning. Verken mer eller mindre.

[tex]y^{\prime \prime}=y\cdot y^\prime[/tex]

Sett [tex]v=\frac{dy}{dx}[/tex]. Da blir

[tex]\frac{dv}{dx}=\frac{dv}{dy}\frac{dy}{dx}=v\frac{dv}{dy}=vy[/tex]. Så

[tex]\frac{dv}{dy}=y \Rightarrow v=\frac{1}{2}y^2+C_1[/tex]

[tex]\frac{dy}{dx}=v=\frac{1}{2}y^2+C_1 \Rightarrow \int \frac{dy}{\frac{1}{2}y^2+C_1}=x+C_2[/tex]

[tex]\frac{\sqrt{2}\arctan(\frac{\sqrt{2}y}{2\sqrt{C_1}})}{\sqrt{C_1}}=x+C_2[/tex]

[tex]\Rightarrow 2D\arctan(Dy)=x+C_2 , \,\left (D=\frac{\sqrt{\frac{2}{C_1}}}{2}\right )\\ \Rightarrow y(x)=\frac{\tan(\frac{x+C_2}{2D})}{D}[/tex]

Siden det er en annenordens ligning må man ha 2 føringer for å bestemme konstantene [tex]C_2[/tex] og [tex]D[/tex].