Fraktaler 1

[espen180]

Et fraktal [tex]F[/tex] er dannet slik:

Trinn 1: Et kvadrat [tex]a_1[/tex] med sidelengde [tex]a[/tex] innskrives i en sirkel. [tex]F_1=a_1[/tex]

Trinn 2: Et nytt kvadrat [tex]a_2[/tex] innskrives slik at alle buelengdene som kobler sammen hjørnene halveres. [tex]F_2=a_1\cup a_2[/tex]

Trinn n: Nye kvadrater [tex]a_{n_1}[/tex] til [tex]a_{n_m}[/tex] (altså så mange kvadrater som trengs) innskrives slik at alle buelengdene som kobler nabohjørner halveres. [tex]F_n=\left\bigcup_{i=1}^n \bigcup_{j=1}^m a_{i_j}[/tex]

(Håper notasjonen ble riktig.)


Hva er arealet av [tex]F_n[/tex]?


Hadde noen problemer med å uttrykke hvordan fraktalet var satt opp. Håper det ble forståelig.

EDIT: Fiksa formelen for F[sub]n[/sub]. x2

[espen180]

I tilfelle forklaringene over ikke var gode nok, poster jeg her bilder av de tre første iterasjonene:

[tex]F_1[/tex]


[tex]F_2[/tex]


[tex]F_3[/tex]

[Janhaa]

Tar forbehold, kladda fort.

[tex]F_n={8\over 5}\cdot 2\cdot({1\over 2}a^2)[/tex]

[tex]F_n={8\over 5} a^2[/tex]

evt. utregning seinere, litt hangover nå...

[espen180]

Hmm. Skeptisk. Kan du vise utregningen? Det ville vel dessuten være minst én [tex]n[/tex] i formelen for iterasjon nummer [tex]n[/tex]?

[Janhaa]

Hmm. Skeptisk. Kan du vise utregningen? Det ville vel dessuten være minst én [tex]n[/tex] i formelen for iterasjon nummer [tex]n[/tex]?

Jeg tolka dette kvadratet som to Koch snowflake som hver seg består av to likebeint trekanter. Et Koch snowflake har et gitt areal avhengig sidalenda/sidelengdene. Ikke noe n inkludert der. Men som sagt, mulig det gikk litt fort i svingene. Faktoren 8/5 kommer fra summen av ei geometrisk rekke.

[Gustav]

hm. ut fra figuren til F3 virker det på meg som det er en viss forskjell på et koch snowflake og dette problemet... faktisk skjønner jeg ikke at problemet slik det er formulert er et fraktal i utgangspunktet...

[espen180]

I hadde inntrykket av at det er et fraktal siden n'te iterasjon når [tex]\lim_{n\to\infty}[/tex] har uendelig små detaljer.