Ei lite nøtt grafset skjødesløst fra fra min 3mx-bok

[Heppet]

Denne oppgaven er i ferd med å ødelegge hele juleferien, og får meg til å tvile på mitt menneskeverd.

Den lyder slik:

En larve starter å krype langs en svært tøyelig gummistrikk, som til å begynne med er 1m lang. Når larven har krøpet 1cm, er det noen som strekker i strikken slik at den blir 2m lang. Så kryper larven 1cm til, men igjen er det noen som forlenger strikken 1m. Hvis dette forstetter, vil da larven noen sinne nå den andre enden av strikken?

[espen180]

Jeg tror denne er tatt før her på forumet.

EDIT: Kanksje ikke, men her er en lignende som svarer på spørsmålet ditt:
http://www.matematikk.net/ressurser/mat ... aur+strikk

[MatteNoob]

En larve starter å krype langs en svært tøyelig gummistrikk, som til å begynne med er 1m lang. Når larven har krøpet 1cm, er det noen som strekker i strikken slik at den blir 2m lang. Så kryper larven 1cm til, men igjen er det noen som forlenger strikken 1m. Hvis dette forstetter, vil da larven noen sinne nå den andre enden av strikken?

EDIT:
Jeg misforsto oppgaven, hvis de trekker den 1m for hver gang larven går 1cm, så vil den selvfølgelig aldri komme til enden. Nedenfor trodde jeg (uten å vite helt hvorfor) at strikkens forlengelse ble halvert for hver gang.

Selvsagt vil larven nå enden av strikken. Som du ser, så vil strikken tøyes en halv gang det den gjorde forrige gang, for hver gang larven kryper 1 cm. La oss se på dette

[tex]\begin{matrix} \text{larve (cm)} & \text{ strikken forlenges med (m)} \\ 1 & 1 \\ 2 & 0,5 \\ 3 & 0,25 \\ \ldots & \ldots \end{matrix}[/tex]

Dette blir, som du ser, ei konvergent rekke der strikkens forlengelse blir

[tex]1 \cdot 0,50^{n-1}[/tex]

der n er hvor mange cm larva har kravlet. Summen vil gå mot

[tex]S = \frac{1}{1-0,5} = 2 \qquad \text{fordi}\qquad -1 < k < 1[/tex]

altså totalt 3 meter (fordi den var 1 meter i utgangspunktet).

Dermed vil larven sakte men sikkert kunne snegle seg de 300 cm og komme til enden

Denne oppgaven er i ferd med å ødelegge hele juleferien, og får meg til å tvile på mitt menneskeverd.

Hahahaha, jeg kjenner til følelsen

[Heppet]

Jeg tror denne er tatt før her på forumet.

EDIT: Kanksje ikke, men her er en lignende som svarer på spørsmålet ditt:
http://www.matematikk.net/ressurser/mat ... aur+strikk

Vel, det svaret var tydeligvis for de allerede innvidde. Jeg forstod ikke et kvekk av det. Siden denne oppgaven sto i en 3mx-bok bør det vel være mulig å løse den uten inngående kjennskap til universitetsmatte/fysikk.

[Heppet]

EDIT:
Jeg misforsto oppgaven, hvis de trekker den 1m for hver gang larven går 1cm, så vil den selvfølgelig aldri komme til enden.

Nja, tenk litt mer på den

[MatteNoob]

EDIT:
Jeg misforsto oppgaven, hvis de trekker den 1m for hver gang larven går 1cm, så vil den selvfølgelig aldri komme til enden.

Nja, tenk litt mer på den

Fy %&"#¤", larva forflytter seg selvsagt den også... *flau*

Og takk, nå vurderer også jeg mitt menneskeverd...

[MatteNoob]

Glem det, jeg må tenke mer... Dreit meg ut igjen. Jeg poster det jeg kommer frem til her.

[Heppet]

Jeg holdt på akkurat slik jeg og. Har etparogførti-sider med verdenshistoriens mest ubrukelige notater og tankerekker. Og jeg kom overhodet ingen vei. Men jeg begynner å mistenke at selve avstandene her er uvesentlige.

[Gustav]

Oppgaven kan muligens løses ved å sette opp en inhomogen, 1.ordens differensligning:

[tex]x_{n+1}-\,\frac{n+2}{n+1}x_n=\frac{n+2}{n+1}[/tex],

med initialverdi [tex]x_0=0[/tex]

[MatteNoob]

Jeg holdt på akkurat slik jeg og. Har etparogførti-sider med verdenshistoriens mest ubrukelige notater og tankerekker. Og jeg kom overhodet ingen vei. Men jeg begynner å mistenke at selve avstandene her er uvesentlige.

Hahahaha, ja

Men tenk deg at du holder en strikk mellom hendene, deretter merker du av med tusj på midten av den. Hvis du nå gjør strikken dobbelt så lang, så vil den fortsatt være på midten.

Det betyr at vi har symmetri i forandringen mellom venstrehanda til midten og fra midten til høyrehanda.

Så desto nærmere sentrum den kommer, desto mindre vil strikkens forlengelse medføre at larven kommer seg "lenger frem".

Det betyr egentlig at larven vil komme til enden, fordi den i prinsippet kun trenger å gå den ene meteren, resten vil nok kompenseres ved at den dras lenger, tror du ikke?

[espen180]

Oppgaven kan muligens løses ved å sette opp en inhomogen, 1.ordens differensligning:

[tex]x_{n+1}-\,\frac{n+2}{n+1}x_n=\frac{n+2}{n+1}[/tex],

med initialverdi [tex]x_0=0[/tex]

Jeg tror man også kan ta utgangspunkt i en differensialligning for å finne hvor langt larva har beveget seg etter t sekunder (vi kan sette larvens fart til v[sub]0[/sub]) og så finne skjæringspunktet til hvor lagt larva har begevet seg og strikkens lengde. Skjønt jeg kan ikke på stående fot si hvordan differensialligninga blir.

[Gustav]

På meg virket det som problemstillingen var av en viss diskret natur. Mulig jeg har misforstått, men jeg antok i differensligninga at larva ikke beveger seg akkurat idet strikken strekkes. Så vi får en slags diskontinuitet idet strikken strekkes der alle avstander skaleres. Vi vet jo ingen ting om hvilken hastighet strikken strekkes i, og problemet vil bli endel verre hvis vi skal ta hensyn til slike ting.

[MatteNoob]

Dette er fra 3mx, man lærer ikke om differensiallikninger der.

Jeg tror det er en måte å løse denne på uten å "overkomplisere".

~~~~~~

I tankerekken jeg introduserte i den forrige tråden kan det se ut til at man drar med begge hendene. Da vil larven stå stille i senter. Dersom man kun drar med feks høyrehånda, så vil larven, med respekt til feks bakken, bevege seg like mye fremover som strikken dras (1 meter). Larven vil derfor komme til enden.

Det virker ikke som om de er ute etter kvantitative størrelser her, så Heppet, jeg tror du har helt rett når du sier at lengden ikke har en tøddel å si.

[Gustav]

Enig i at det må finnes en enkel løsning. Hvis man snur på problemet og tenker seg at strikken hele tiden er 1 meter, men at larven går kortere og kortere, vil lengden larven går for hver gang være

[tex]1cm \\ \frac{1}{2} cm \\ \frac{1}{3}cm ...[/tex]

[tex]\sum_{1}^{\infty}\frac{1}{n}=\infty[/tex] så larven vil komme frem til enden.

[MatteNoob]

Ja, og hvis du tar en strikk, klipper den, fester den til veggen og henger en binders like ved tommelen din for så å dra i den, så vil du se at bindersen ikke ender noe markant lenger fra tommelen din.

PS: Jeg har ikke gjennomført dette vitenskapelige eksperimentet, hahaha.